一. 罗德里格斯公式形式:

$$Rot(\hat{\omega },\theta )=e^{{\widehat{[\omega ]}}_{\times }\theta }=\mathbf{I}+sin\theta [\hat{\omega }{]}_{\times }+(1-cos\theta )[\hat{\omega }{]}_{\times }^2$$

二. 罗德里格斯公式解释:

在一个给定的坐标系 { s } \{s\} {s}下，有一个单位向量的旋转轴$\omega$，绕着这个轴旋转$\theta$度的旋转矩阵为$Rot(\hat{\omega },\theta )$，可以使用罗德里格斯公式进行求解。

三. 最终效果

向量 v [3, 4, 5] 绕 k轴 [1, 1, 1] 旋转 180°，效果如下图所示:

四. 代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import animationdef rodrigues_rotate(_v, _k, theta):"""使用罗德里格斯公式将向量v绕单位向量k旋转theta弧度:param v: 需要旋转的向量，shape=(3,):param k: 旋转轴单位向量，shape=(3,):param theta: 旋转角度（弧度）:return: 旋转后的向量，shape=(3,)"""_v = np.asarray(_v)_v = _v / np.linalg.norm(_v)  # 先归一化输入向量_k = np.asarray(_k)_k = _k / np.linalg.norm(_k)v_rot = (_v * np.cos(theta)+ np.cross(_k, _v) * np.sin(theta)+ _k * np.dot(_k, _v) * (1 - np.cos(theta)))return v_rotdef animate_rodrigues_rotation(_v, _k, _total_theta=np.pi, _frames=100, save_gif=True, gif_path="rodrigues_rotation.gif"):"""绘制向量v绕轴k旋转的动图，并保存为gif:param v: 初始向量:param k: 旋转轴:param total_theta: 总旋转角度（弧度）:param frames: 动画帧数:param save_gif: 是否保存为gif:param gif_path: gif保存路径"""_v = np.asarray(_v)_v = _v / np.linalg.norm(_v)  # 先归一化输入向量_k = np.asarray(_k)_k = _k / np.linalg.norm(_k)thetas = np.linspace(0, _total_theta, _frames)vectors = np.array([rodrigues_rotate(_v, _k, theta) for theta in thetas])fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")# 自动根据向量和旋转轴范围设置合适的坐标轴范围all_points = np.vstack(([_v], [vectors[-1]], [_k]))max_range = np.max(np.abs(all_points)) * 1.3  # 适当放大for axis in [ax.set_xlim, ax.set_ylim, ax.set_zlim]:axis([-max_range, max_range])ax.set_xlabel("X")ax.set_ylabel("Y")ax.set_zlabel("Z")ax.quiver(0,0,0,_k[0],_k[1],_k[2],color="g",length=1.2,linewidth=2,label="Axis k",)ax.quiver(0,0,0,_v[0],_v[1],_v[2],color="r",length=1.2,linewidth=2,label="start vec",)ax.quiver(0,0,0,vectors[-1][0],vectors[-1][1],vectors[-1][2],color="y",length=1.2,linewidth=2,label="end vec",)vec_quiv = ax.quiver(0,0,0,_v[0],_v[1],_v[2],color="b",length=1.0,linewidth=2,label="Rotating v",)ax.legend()# 用于保存quiver对象quivers = [vec_quiv]def update(num):# 移除上一帧的向量quivers[0].remove()new_v = vectors[num]quivers[0] = ax.quiver(0,0,0,new_v[0],new_v[1],new_v[2],color="b",length=1.0,linewidth=2,)return quivers[0],# 5秒，interval=50ms，则frames=100ani = animation.FuncAnimation(fig, update, frames=_frames, interval=5000//_frames, blit=True)if save_gif:ani.save(gif_path, writer='pillow', fps=_frames//5)print(f"GIF已保存到: {gif_path}")plt.show()if __name__ == "__main__":# 示例：将向量 v [3, 4, 5] 绕 k轴 [1, 1, 1] 旋转 180°v = np.array([3, 4, -5])k = np.array([1, 1, 1])animate_rodrigues_rotation(v, k, _total_theta=np.pi/180*120, _frames=100, save_gif=True, gif_path="rodrigues_rotation.gif")