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本文目录：

一、决策树基本知识
- （一）概念
- （二）决策树建立过程
二、决策树生成
- （一）ID3决策树：基于信息增益构建的决策树。
- （二）C4.5决策树
- （三）CART决策树
- - 1.CART分类决策树
  - 2.CART回归决策树
三、决策树剪枝：防止过拟合
- （一）决策树剪枝的基本策略有"预剪枝" (pre-pruning）和"后剪枝"（post- pruning)
- - 1.预剪枝（例）：
  - 2.后剪枝（例）:
- （二）剪枝方法对比
附赠1：ID3决策树、C4.5决策树、CART决策树对比（CART回归树采用平方损失，表中未说明）
附赠2：CART分类树与回归树对比

一、决策树基本知识

（一）概念

决策树（decision tree）是一种监督学习算法，是一种树形结构，树中每个内部节点表示一个特征上的判断，每个分支代表一个判断结果的输出，每个叶子节点代表一种分类结果。

（二）决策树建立过程

1.特征选择：选取有较强分类能力的特征；

2.决策树生成：根据选择的特征生成决策树；

3.决策树也易过拟合，采用剪枝的方法缓解过拟合。

二、决策树生成

（一）ID3决策树：基于信息增益构建的决策树。

信息熵：熵在信息论中代表随机变量不确定度的度量；熵越大，数据的不确定性度越高；熵越小，数据的不确定性越低。

公式：
在这里插入图片描述

信息增益：集合 $D$ 的熵 $H (D)$ 与特征A给定条件下D的熵 $H (D ∣ A)$ 之差。

公式：
在这里插入图片描述

根据信息增益选择特征构建子树方法是：对训练数据集D，计算其每个特征的信息增益，并比较它们的大小，并选择信息增益最大的特征进行划分。

例：
已知6个样本，根据特征a：
在这里插入图片描述
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ID3决策树构建流程：

计算每个特征的信息增益
使用信息增益最大的特征将数据集 S 拆分为子集
使用该特征（信息增益最大的特征）作为决策树的一个节点
使用剩余特征对子集重复上述（1，2，3）过程

（二）C4.5决策树

信息增益率：
在这里插入图片描述

Gain_Ratio 表示信息增益率；
IV 表示分裂信息、内在信息；
信息增益率= 特征的信息增益 ➗ 内在信息。

特点：

如果某个特征的特征值种类较多，则其内在信息值就越大。即：特征值种类越多，除以的系数就越大。
如果某个特征的特征值种类较小，则其内在信息值就越小。即：特征值种类越小，除以的系数就越小。

信息增益率本质：是在信息增益的基础之上乘上一个惩罚参数。特征个数较多时，惩罚参数较小；特征个数较少时，惩罚参数较大。惩罚参数：数据集D以特征A作为随机变量的熵的倒数。

根据信息增益率选择特征构建子树方法：对训练数据集D，计算其每个特征的信息增益率，并比较它们的大小，并选择信息增益率最大的特征进行划分。

例：
在这里插入图片描述
特征a的信息增益率：

信息增益：1-0.5408520829727552=0.46
特征熵：-4/6*math.log(4/6, 2) -2/6*math.log(2/6, 2)=0.9182958340544896
信息增益率：信息增益/分裂信息=0.46/0.9182958340544896=0.5

特征b的信息增益率：

信息增益：1
特征熵：-1/6*math.log(1/6, 2) * 6=2.584962500721156
信息增益率：信息增益/信息熵=1/2.584962500721156=0.38685280723454163

由计算结果可见，特征1的信息增益率大于特征2的信息增益率，根据信息增益率，我们应该选择特征1作为分裂特征。

（三）CART决策树

Cart模型是一种决策树模型，它即可以用于分类，也可以用于回归。

分类和回归树模型采用不同的最优化策略。Cart回归树使用平方误差最小化策略，Cart分类生成树采用的基尼指数最小化策略。

基尼指数：
在这里插入图片描述
Gini为基尼值，Gini_index为基尼指数，基尼指数值越小（cart），则说明优先选择该特征。

平方损失：
在这里插入图片描述

1.CART分类决策树

例：

在这里插入图片描述
计算“是否有房”的基尼指数：

首先，根据是否有房将目标值划分为两部分：

计算有房子的基尼值： 有房子有 1、4、7 共计三个样本，对应：3个no、0个yes：

$i(\text {是否有房，yes })=1-\left(\frac{0}{3}\right)^{2}-\left(\frac{3}{3}\right)^{2}=0$
计算无房子的基尼值：无房子有 2、3、5、6、8、9、10 共七个样本，对应：4个no、3个yes：

$\operatorname{Gini}(\text {是否有房，no })=1-\left(\frac{3}{7}\right)^{2}-\left(\frac{4}{7}\right)^{2}=0.4898$
计算基尼指数：第一部分样本数量占了总样本的 3/10、第二部分样本数量占了总样本的 7/10：

$\operatorname{Gini_{-}} i n \operatorname{dex}(D, \text { 是否有房 })=\frac{7}{10} * 0.4898+\frac{3}{10} * 0=0.343$

计算“婚姻状况”的基尼指数：

计算 {married} 和 {single,divorced} 情况下的基尼指数：

结婚的基尼值，有 2、4、6、9 共 4 个样本，并且对应目标值全部为 no：

$Gini_index ⁡ ( D , married ) = 0 \operatorname{Gini\_index}(D,\text{{married}})=0$

不结婚的基尼值，有 1、3、5、7、8、10 共 6 个样本，并且对应 3 个 no，3 个 yes：

$Gini_index ⁡ ( D , single,divorced ) = 1 − ( 3 6 ) 2 − ( 3 6 ) 2 = 0.5 \operatorname{Gini\_index}(D, \text { {single,divorced} })=1-\left(\frac{3}{6}\right)^{2}-\left(\frac{3}{6}\right)^{2}=0.5$

以 married 作为分裂点的基尼指数：

$Gini_index ⁡ ( D , married ) = 4 10 ∗ 0 + 6 10 ∗ [ 1 − ( 3 6 ) 2 − ( 3 6 ) 2 ] = 0.3 \operatorname{Gini\_index}(D, \text { married })=\frac{4}{10} * 0+\frac{6}{10} *\left[1-\left(\frac{3}{6}\right)^{2}-\left(\frac{3}{6}\right)^{2}\right]=0.3$
计算 {single} | {married,divorced} 情况下的基尼指数

$Gini_index ⁡ ( D , 婚姻状况 ) = 4 10 ∗ 0.5 + 6 10 ∗ [ 1 − ( 1 6 ) 2 − ( 5 6 ) 2 ] = 0.367 \operatorname{Gini\_index}(D,\text{婚姻状况})=\frac{4}{10} * 0.5+\frac{6}{10} *\left[1-\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\right]=0.367$
计算 {divorced} | {single,married} 情况下基尼指数

$Gini_index ⁡ ( D , 婚姻状况 ) = 2 10 ∗ 0.5 + 8 10 ∗ [ 1 − ( 2 8 ) 2 − ( 6 8 ) 2 ] = 0.4 \operatorname{Gini\_index}(D, \text { 婚姻状况 })=\frac{2}{10} * 0.5+\frac{8}{10} *\left[1-\left(\frac{2}{8}\right)^{2}-\left(\frac{6}{8}\right)^{2}\right]=0.4$
最终：该特征的基尼值为 0.3，并且预选分裂点为：{married} 和 {single,divorced}

计算“年收入”的基尼指数：

先将数值型属性升序排列，以相邻中间值作为待确定分裂点：
在这里插入图片描述
以年收入 65 将样本分为两部分，计算基尼指数:

$节点为65时:{年收入}=\frac{1}{10} * 0 + \frac{9}{10} *\left[1-\left(\frac{6}{9}\right)^{2}-\left(\frac{3}{9}\right)^{2}\right]=0.4$

以此类推计算所有分割点的基尼指数，我们发现最小的基尼指数为 0.3。

此时，我们发现：

以是否有房作为分裂点的基尼指数为：0.343
以婚姻状况为分裂特征、以 married 作为分裂点的基尼指数为：0.3
以年收入作为分裂特征、以 97.5 作为分裂点的的基尼指数为：0.3

最小基尼指数有两个分裂点，我们随机选择一个即可，假设婚姻状况，则可确定决策树如下：
在这里插入图片描述
重复上面步骤，直到每个叶子结点纯度达到最高。

2.CART回归决策树

例：

假设：数据集只有 1 个特征 x, 目标值值为 y，如下图所示：
在这里插入图片描述
由于只有 1 个特征，所以只需要选择该特征的最优划分点，并不需要计算其他特征。

先将特征 x 的值排序，并取相邻元素均值作为待划分点，如下图所示：

s 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
计算每一个划分点的平方损失，例如：1.5 的平方损失计算过程为：

R1 为小于 1.5 的样本个数，样本数量为：1，其输出值为：5.56

$R_1 =5.56$

R2 为大于 1.5 的样本个数，样本数量为：9 ，其输出值为：

$R_2=(5.7+5.91+6.4+6.8+7.05+8.9+8.7+9+9.05) / 9=7.50$

该划分点的平方损失：

$L(1.5)=(5.56-5.56)^{2}+\left[(5.7-7.5)^{2}+(5.91-7.5)^{2}+\ldots+(9.05-7.5)^{2}\right]=0+15.72=15.72$
以此方式计算 2.5、3.5… 等划分点的平方损失，结果如下所示：

s 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
m(s) 15.72 12.07 8.36 5.78 3.91 1.93 8.01 11.73 15.74
当划分点 s=6.5 时，m(s) 最小。因此，第一个划分变量：特征为 X, 切分点为 6.5，即：j=x, s=6.5**
对左子树的 6 个结点计算每个划分点的平方式损失，找出最优划分点：

x 1 2 3 4 5 6
y 5.56 5.7 5.91 6.4 6.8 7.05

s 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5
c1 5.56 5.63 5.72 5.89 6.07
c2 6.37 6.54 6.75 6.93 7.05

s 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5
m(s) 1.3087 0.754 0.2771 0.4368 1.0644
s=3.5时，m(s) 最小，所以左子树继续以 3.5 进行分裂:

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5
m(s)	15.72	12.07	8.36	5.78	3.91	1.93	8.01	11.73	15.74

x	1	2	3	4	5	6
y	5.56	5.7	5.91	6.4	6.8	7.05

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
c1	5.56	5.63	5.72	5.89	6.07
c2	6.37	6.54	6.75	6.93	7.05

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
m(s)	1.3087	0.754	0.2771	0.4368	1.0644

在这里插入图片描述
7. 假设在生成3个区域 之后停止划分，以上就是回归树。每一个叶子结点的输出为：挂在该结点上的所有样本均值。

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	5.56	5.7	5.91	6.4	6.8	7.05	8.9	8.7	9	9.05

1号样本真实值 5.56 预测结果：5.72

2号样本真实值是 5.7 预测结果：5.72

3 号样本真实值是 5.91 预测结果 5.72

三、决策树剪枝：防止过拟合

剪枝是指将一颗子树的子节点全部删掉，利用叶子节点替换子树(实质上是后剪枝技术)，也可以（假定当前对以root为根的子树进行剪枝）只保留根节点本身而删除所有的叶子，以下图为例：
在这里插入图片描述

（一）决策树剪枝的基本策略有"预剪枝" (pre-pruning）和"后剪枝"（post- pruning)

预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶结点;
后剪枝则是先从训练集生成一棵完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。

1.预剪枝（例）：

在这里插入图片描述
4. 假设: 当前树只有一个结点, 即编号为1的结点. 此时, 所有的样本预测类别为: 其类别标记为训练样例数最多的类别，假设我们将这个叶结点标记为 “好瓜”。此时, 在验证集上所有的样本都会被预测为 “好瓜”, 此时的准确率为: 3/7

如果进行此次分裂, 则树的深度为 2, 有三个分支. 在用属性"脐部"划分之后，上图中的结点2、3、4分别包含编号为 {1，2，3， 14}、 {6，7， 15， 17}、 {10， 16} 的训练样例，因此这 3 个结点分别被标记为叶结点"好瓜"、 “好瓜”、 “坏瓜”。此时, 在验证集上 4、5、8、11、12 样本预测正确，准确率为: 5/7。很显然, 通过此次分裂准确率有所提升, 值得分裂.
接下来，对结点2进行划分，基于信息增益准则将挑选出划分属性"色泽"。然而，在使用"色泽"划分后，编号为 {5} 的验证集样本分类结果会由正确转为错误，使得验证集精度下降为 57.1%。于是，预剪枝策略将禁止结点2被划分。
对结点3，最优划分属性为"根蒂"，划分后验证集精度仍为 5/7. 这个划分不能提升验证集精度，于是，预剪枝策略禁止结点3被划分。
对结点4，其所含训练样例己属于同一类，不再进行划分.

于是，基于预剪枝策略从上表数据所生成的决策树如上图所示，其验证集精度为 71.4%. 这是一棵仅有一层划分的决策树。
在这里插入图片描述

2.后剪枝（例）:

后剪枝先从训练集生成一棵完整决策树，继续使用上面的案例，从前面计算，我们知前面构造的决策树的验证集精度为42.9%。
在这里插入图片描述
首先考察结点6，若将其领衔的分支剪除则相当于把6替换为叶结点。替换后的叶结点包含编号为 {7， 15} 的训练样本，于是该叶结点的类别标记为"好瓜", 此时决策树的验证集精度提高至 57.1%。

在这里插入图片描述
2. 然后考察结点5，若将其领衔的子树替换为叶结点，则替换后的叶结点包含编号为 {6，7，15}的训练样例，叶结点类别标记为"好瓜’；此时决策树验证集精度仍为 57.1%. 于是，可以不进行剪枝.
3. 对结点2，若将其领衔的子树替换为叶结点，则替换后的叶结点包含编号为 {1， 2， 3， 14} 的训练样例，叶结点标记为"好瓜"此时决策树的验证集精度提高至 71.4%. 于是，后剪枝策略决定剪枝.
4. 对结点3和1，若将其领衔的子树替换为叶结点，则所得决策树的验证集精度分别为 71.4% 与 42.9%，均未得到提高，于是它们被保留。
5. 最终, 基于后剪枝策略生成的决策树如上图所示, 其验证集精度为 71.4%。