在深度学习中，ReLU（Rectified Linear Unit）是最常用的激活函数之一，但其存在一些局限性（如死亡ReLU问题）。为解决这些问题，研究者们提出了多种变体。以下是常见的ReLU变体及其核心特点：

一、基础ReLU及其问题

公式：
$$\text{ReLU}(x)=\max (0,x)$$

局限性：

1. 死亡ReLU问题：当输入为负数时，梯度为0，导致神经元无法更新。
2. 输出非零中心化：均值恒大于0，可能导致梯度更新不稳定。

二、主要变体

1. LeakyReLU（带泄露的ReLU）

公式：
$$\text{LeakyReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x\ge 0\\ \alpha x,& \text{if }x<0\end{array}$$
其中 $\alpha$ 是一个小的常数（如0.01），允许负数输入有非零梯度。

特点：

• 解决死亡ReLU问题，保证所有输入都有梯度。
• PyTorch实现：nn.LeakyReLU(alpha)

2. PReLU（参数化ReLU）

公式：
$$\text{PReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x\ge 0\\ \alpha x,& \text{if }x<0\end{array}$$
其中 $\alpha$ 是可学习的参数，不同通道或神经元可拥有不同的 $\alpha$ 值。

下面的prelu图像我设置了weight=0.01，所以初始的时候跟leaky_relu形状好像是一样的，不过prelu的weight可学习，后面能动态调整

特点：

• 比LeakyReLU更灵活，通过学习优化 $\alpha$ 值。
• PyTorch实现：nn.PReLU(num_parameters=1, init=0.25)

3. ELU（指数线性单元）

公式：
$$\text{ELU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x\ge 0\\ \alpha (\exp (x)-1),& \text{if }x<0\end{array}$$
其中 $\alpha$ 是超参数，通常取1。

特点：

• 输出均值接近0，减轻梯度消失问题。
• 负值部分具有软饱和性，对噪声更鲁棒。
• PyTorch实现：nn.ELU(alpha=1.0)

4. SELU（缩放指数线性单元）

公式：
$$\text{SELU}(x)=\lambda \cdot \{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x\ge 0\\ \alpha (\exp (x)-1),& \text{if }x<0\end{array}$$
其中 $\lambda \approx 1.0507$ 和 $\alpha \approx 1.67326$ 是固定!常量。

特点：

• 具有自归一化特性（Self-Normalizing），输入会自动保持均值为0、方差为1。
• 需配合高斯初始化使用，否则可能失效。
• PyTorch实现：nn.SELU()

5. GELU（高斯误差线性单元）

公式：
$$\text{GELU}(x)=x\cdot \Phi (x)\approx 0.5x\left(1+\tanh \left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+0.044715x^3)\right)\right)$$
其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。

特点：

• 被广泛用于Transformer架构（如BERT、GPT）。
• 输入值越大，激活越“软”（相比ReLU的硬阈值）。
• PyTorch实现：nn.GELU()

6. Swish/SiLU（自门控线性单元）

公式：
$$\text{Swish}(x)=x\cdot \sigma (x)$$
其中 $\sigma (x)$ 是Sigmoid函数。

特点：

• 平滑连续，在深层网络中表现优于ReLU。
• 被证明具有自门控特性，类似LSTM中的门控机制。
• PyTorch实现：nn.SiLU()（SiLU是Swish的别名）

7. Mish

公式：
$$\text{Mish}(x)=x\cdot \tanh (\text{softplus}(x))=x\cdot \tanh (\ln (1+\exp (x)))$$

特点：

• 无上界、有下界，平滑连续，且在负值区域有轻微的非零梯度。
• 在图像、语音等任务中表现优异，但计算成本较高。
• PyTorch实现：nn.Mish()

三、其他变体

• RReLU（随机LeakyReLU）：$\alpha$ 在训练时随机采样，测试时固定为均值，增强正则化效果。
• GeLU：GELU的近似版本，计算效率更高。
• Softplus：$\text{Softplus}(x)=\ln (1+\exp (x))$，ReLU的平滑近似。
• ThresholdReLU：当输入超过阈值时才激活，否则输出0。

四、选择建议

场景	推荐激活函数
常规计算机视觉任务	ReLU / LeakyReLU
自然语言处理（Transformer）	GELU / Swish
需要自归一化特性	SELU
对梯度消失敏感的深层网络	ELU / Mish
轻量级模型或边缘计算	ReLU / LeakyReLU

五、总结

ReLU变体通过引入负值区域的梯度（如LeakyReLU、PReLU）、平滑性（如GELU、Swish）或自归一化（如SELU）等特性，缓解了原始ReLU的局限性，提升了模型性能和训练稳定性。实际应用中，需根据任务特点和模型架构选择合适的激活函数。