很多朋友觉得PID是遥不可及，很神秘，很高大上的一种控制，对其控制原理也很模糊，只知晓概念性的层面，知其然不知其所以然，那么本期从另类视角来探究微分、积分电路的本质，意在帮助理解PID的控制原理（PID：P表示比例控制；I表示积分控制；D表示微分控制）。
在认清微分、积分电路之前，我们都知道电容的特性： 电容的电流超前电压相位90°，很多教材都这么描述，让人很费解， 其本质又是什么呢？
❤ 要彻底掌握微分、积分电路或PID控制思路，首先得了解电容。
❤ 电容就是装载电荷的容器，从微观角度看，当电荷流入容器时，随着时间的变化极间电场逐渐增大；以 图1为例：
①充电开始时Uc=0V，压差△U=Ur=Ui，此刻容器内无电荷，也就无电场排斥流入的电荷；所以电流Ic最大，表现为容抗最小，近似短路；
②当Uc上升，压差△U开始减小，该过程形成电场，容器开始排斥流入的电荷；电流Ic逐渐减小，表现为容抗逐渐增大；
③当Uc=Ui，压差△U=Ur=0V，此刻容器内电场最强，以最大排斥力阻止流入的电荷；电流Ic=0，表现为容抗最大，近似开路。
图1：电容容器充电模型
❤ 当电荷流出容器时，随着时间的变化极间电场逐渐减小；该放电过程的电容可看成是一个内阻为0的电压源， 以 图2为例（移除电源并接地）：
①放电开始时Uc=Ui，此刻容器内充满电荷，因此电场最强，而电阻不变，则放电电流Ic最大（方向与充电相反），电阻两端的电压Ur=Uc，则Ur=Ui；
②当Uc下降，该过程电场减弱，放电电流Ic逐渐减小，Ur=Uc也逐渐减小；
③放电耗尽Uc=0V，此刻容器内无电荷，因此无电场，Ur=0V。
图2：电容容器放电模型
❤ 电容就好比水桶一样，流入的水流无论是大还是小，水位的变化一定是从最低位开始连续上升的；而 电容内的电荷也是逐渐从0开始积累起来的，积累过程与自然常数e有关系，这里就不深入讨论了。
图3就是电容充放电的电压-电流曲线。
图3：电容充放电，电压-电流曲线
❤联系前面的分析，可 总结为：
①电容电压不能突变，电流可突变（教材的定义是电容的电流与电压的变化率成正比）；
②充电过程中的电容可 等效成一个可变电阻，放电过程中的电容可 等效成一个电压源；
③电容电流反映的是单位时间内流动的电荷量，电容电压（或电场）反映的是电荷量的多少。通俗的理解就是 流动的电荷才会导致电荷量多少的变化（与①相吻合） ； 用数学语言描述则是电容的电流超前电压相位90°；
④电容充放电速度与电容和电阻大小有关。
对电容充分了解之后，首先我们先来认识最简单的分压电路，如 图4根据欧姆定律VCC=2.5V，该纯阻性的分压电路就是比例运算电路的雏形。
图4：分压电路
❤如 图5，我们把R2换成104（0.1μF）电容，C1电容充满电后近似开路，VCC=5V；该电路就是 积分运算电路的雏形。那么把5V改成信号源就构成了 低通滤波电路。
图5：积分电路
❤ 如 图6为上图的充电波形， 红色表示5V的波形， 蓝色表示VCC的波形，因为电容充电时的容抗由小变大直至开路，所以分压VCC也由小变大直至为5V。而且电容充电需要一定的时间，导致VCC的波形要缓一些。（该5V是开关电源上电软启动时的输出波形）
图6：积分电路波形
❤ 把图4图5组合就得到 图7的电路，这就是我们经常使用的PI电路（比例积分），在参考电压或分压电路里很常见，加电容的目的就是增加 延时性， 稳定VCC的电压不受5V波动而波动，VCC=2.5V。
图7：PI电路
❤把 图5中电容和电阻的位置交换一下得到如 图8的电路，C1电容充满电后近似开路，VCC=0V；该电路就是 微分运算电路的雏形。那么把5V改成信号源就构成了 高通滤波电路。
图8：微分电路
❤如 图9为上图的充电波形， 红色表示5V的波形， 蓝色表示VCC的波形，因为电容充电时的容抗由小变大直至开路，所以分压VCC由大变小直至为0V。也就是 红色波形从0开始跳变一瞬间，VCC已经是最大值，所以微分有 超前预判的性质（反映的是输入信号的变化率）。
图9：微分电路波形
如 图10为（反相）比例运算电路。
图10：比例运算电路
如 图11，Uo与Ui成线性关系。
图11：比例运算电路波形
❤ 如 图12、图13为微分运算电路的充放电过程：
充电过程的电容C1可等效成一个可变电阻，C1开始充电时的容抗为0，电压不可突变则电压为0，运放 -输入端得到的分压为正最大峰值，于是 Uo为运放的负最大峰值，随着电容充满电，U0逐渐变为0。
图12：微分运算电路-充电
放电过程的电容C1可等效成一个电压源，且电压不可突变，此时电流反向为最大值，R1电压瞬间反向也为最大值，运放 -输入端得到的分压则为负最大峰值，于是 Uo为运放的正最大峰值，随着电容放完电，U0逐渐变为0。
图13：微分运算电路-放电
❤ 如 图14为 微分运算电路的输入输出波形，联系前面的分析结果，则 Uo反映的是Ui的变化率，这样就达到了预判超前的效果。
图14：微分运算电路波形
❤如 图15为微分运算仿真电路，为了防止运放出现饱和，必须限制输入电流，实际使用时需要在电容C1输入端串联一个小电阻R2。串联电阻后的电路已经不是理想微分运算电路了，但是只要输入信号周期大于2倍RC常数，可以近似为微分运算电路。
图15：微分运算仿真电路
❤如 图16为微分运算仿真电路波形，其中IN-为运放 -输入端的波形。
图16：微分运算仿真电路波形
❤如 图17、图18为积分运算电路的充放电过程：
充电过程的电容C1可等效成一个可变电阻，C1开始充电时的容抗为0，电压不可突变则电压为0，运放 -输入端得到的分压为0，于是 Uo为0，随着电容充满电，运放 -输入端得到的分压为正最大值， U0为运放的负最大峰值。
图15：积分运算电路-充电
放电过程的电容C1可等效成一个电压源，且电压不可突变，运放 -输入端得到的分压也不可突变，随着电容放完电，于是 Uo由负最大峰值逐渐变为0。
图16：积分运算电路-放电
❤ 如 图17为积分运算电路的输入输出波形，联系前面的分析结果，则 Uo反映的是Ui的积累过程，这样就达到了延迟稳定的效果。
图17：积分运算电路波形
❤如 图18为积分运算仿真电路，为了防止运放出现饱和，实际使用时需要在电容C2两端并联一个电阻R3。并联电阻后的电路已经不是理想积分运算电路了，但是只要输入信号周期大于2倍RC常数，可以近似为积分运算电路。
图18：积分运算仿真电路
❤ 如 图19为积分运算仿真电路波形，其中IN-为运放 -输入端的波形。
图19：积分运算仿真电路波形
❤ 要点：
①微分、积分运算电路利用了电容充放电时其 电压不可突变的特性达到调节输出的目的，对变化的输入信号有意义；
②微分D控制有超前预判的特性，积分I控制有延迟稳定的特性，在PID调节速度上，微分D控制＞比例P控制＞积分I控制；
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