可得霍尔电导率（tensor）以及电阻率（tensor）

二、（整数）量子霍尔效应

弱磁场的情况下，非对角的霍尔电导和磁场强度满足经典的线性关系，强磁场作用下出现了很多量子化的平台

量子化的起源-朗道能级

这里使用Landau gauge，Hamiltonian可转化为谐振子模型从而求解其能级

波函数代入current operator

此时若在y方向加个电场ε，破坏其对称性

得到的current依然是不变的（shift Gaussian wave packet center）。

对电流积分可得量子化的霍尔电导率，其中n对应了朗道能级的占据数目

Laughlin’s gauge argument

将IQHE解释为quantum pump，增加一个量子磁通的test flux的就对应着Gaussian wave packet移动一个单位。

Landauer's approach （Edge modes）

Drift velocity 直接由化学电势差决定

拓扑的引入 （Kubo Formula，Chern number or TKNN number，Berry curvature...）

Kubo Formula 是通过linear response得到的电导率

上式红色部分是纯虚数，Berry curvature是纯实数

所以第n个band的霍尔电导率是

上式括号里面的积分是一个整数，即Chern number （first Chern number）=TKNN number。证明略。。。

分数霍尔效应略，相关内容如Hofstadter’s Butterfly、拓扑绝缘体、Weyl 半金属等可翻阅以前的文章。。。