最近一直在忙着写论文，只能说要写一篇高水平论文确实不容易，要一直反复来回修改调整，要求比较高，所以没太有时间和精力写博客，这两天结束了初稿，又正好是假期，出来冒个泡。

  本次分享的主题是：多输入多输出系统的稳定裕度求解方法。

0. 问题描述

  对于多输入多输出系统，经典的Bode图分析稳定裕度不再适用，目前市面上对于多输入多输出系统用的比较广泛的办法有：

• 回差阵奇异值法；
• μ分析法；

  其中回差阵奇异值法相对比较保守，但是两种方法都是基于模型的，也就是必须得有建立好的状态空间模型才能求解稳定裕度。然而，最近却了解到一种不基于模型，基于实验数据来解算稳定裕度的方法，并且求解过程简单，感觉在实际中更加有效。以下首先介绍基于模型的SM求解算法，然后介绍基于数据驱动的SM求解方法，最后再补充介绍一下μ分析法求解SM法。

1. 基于模型的MIMO稳定裕度分析

  对于多输入多输出闭环系统，在被控对象输入端注入一个复对角乘性扰动 ${\mathbf{I}}_m+\mathbf{\Delta }\left(s\right)$ 来定义多变量增益和时延裕度（GM and DM）。

当求解增益裕度时，
$$\mathbf{\Delta }\left(s\right)=\mathrm{diag}\left(r_1,r_2,...,r_m\right),\left|r_i\right|⩽r_{\max },i=1,2,...m$$当求解时延裕度时，$$\mathbf{\Delta }\left(s\right)=\mathrm{diag}\left(e^{-s{\tau }_1-1},e^{-s{\tau }_2-1},...,e^{-s{\tau }_m-1}\right),0⩽{\tau }_i⩽{\tau }_{\max },i=1,2,...m$$对上图利用环路变换和小增益定理进行转换可得 $${\mathbf{R}}_{\mathrm{i}}\left(s\right)={\left({\mathbf{I}}_m+{\left(\mathbf{H}\left(s\right)\mathbf{KG}\left(s\right)\right)}^{-1}\right)}^{-1}$$此时的增益裕度和时延裕度的最大值为$$\begin{gathered} r_{\max }=\left(1-{\epsilon }_1\right){\Vert {\mathbf{R}}_i\left(s\right)\Vert }^{-1} \\ {\tau }_{\max }=\left(1-{\epsilon }_2\right){\Vert s{\mathbf{R}}_i\left(s\right)\Vert }^{-1} \end{gathered}$$对于$H_{\propto }$范数 $\Vert R_i\left(s\right)\Vert$求通过sigma函数求解最大奇异值得到，然而可转换成对应的增益裕度和时延裕度。$$\begin{gathered} db2mag\left(-r_{\max }+1\right)⩽GM⩽db2mag\left(r_{\max }+1\right) \\ 0⩽DM⩽{\tau }_{\max } \end{gathered}$$在验证上述结果的时候，直接在反馈回路上加上增益环节和时延环节即可，-r*[1 0;0 1]+[1 0;0 1]，经过验证，该裕度取值合适，较不保守。

2. 基于数据驱动的MIMO稳定裕度分析

  以上方法是基于有确切模型的时候求解稳定裕度，然而对于实际情况来说，大部分时候是不知道具体模型的，此时使用上述方法得到的稳定裕度就会有较大的偏差。
  对上一节的控制回路进行调整，可得到基于扫频数据的稳定裕度求解方法。

上图表示的意思是，通过在z点注入扫频信号，在w点获取对应的输出数据，此时借助频率响应综合识别软件包（CIFER） 的帮助即可得到对应的 ${\mathbf{R}}_i\left(s\right)$，具体的求解步骤如下：

最终得到奇异值曲线如下所示，对最大奇异值根据上节的公式进行转换，可得到对应的增益裕度为6.17dB，时延裕度为0.1618s。经过验证，数值合理，较不保守。

上述方法的优势之处为：

• 简单；
• 无模型基于实验数据获得；
• 在不中断环路的情况下进行在线评估SM；
• 对于含时滞环节的不确定性能更好的处理；

劣势在于：虽然扫频试验得到的数据驱动SMs具有一定的保守性，但在所得到的数据驱动SMs的扰动下，系统仍能保持稳定。

3. μ分析法求解稳定裕度

  顺带补充一下μ分析法求解稳定裕度的方法，同样在输入端引入乘性不确定性：

将不确定性从系统中分离出来，并转换为如下形式：

其中$$\mathbf{P}=-{\left(\mathbf{I}+\mathbf{KG}\right)}^{-1}\mathbf{KG}$$  这样，原系统转化为适合鲁棒稳定性分析的标准形式。如果知道了回路开环传递函数KG ，就可以通过该式计算出P(s)的频率特性，进而利用Matlab中的 μ-tool得到系统的结构奇异曲线。并找出系统的μ峰值。

上图μ峰值为3.75，转换成经典的增益裕度和相角裕度分别为2.0492dB和15.2904°。经过验证，此结果合理，系统在此范围内仍能稳定。

4. 总结

  1、分别阐述了基于理论模型和基于实验数据的稳定裕度计算方法；
  2、可根据实际情况合理选择计算方法；在理论上可以采用基于模型的计算方法（小增益$L_2$方法和μ分析法），在实践上可以采用基于扫频数据驱动的测量方法。