解：显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.

∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，

∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.

∴5t＝12－4t，解得t＝4/3.

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝4/3.

题型二【菱形中的动点问题】

如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．

(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；

解：证明：如图①，连接AC.

∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，

∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.

∴△ABC是等边三角形．

又∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，

∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.

∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD

＝180°－30°－120°＝30°.

∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.

(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

解：如图②，连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.

又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.

∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，

∴∠ACF＝60°＝∠B.

∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.

∴△AEF是等边三角形．

题型三【正方形中的动点问题

如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

解：证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，

AB＝BC＝CD＝AD.

∵AE＝BF＝CG＝DH，

∴AH＝BE＝CF＝DG.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.　

∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.

∴四边形EFGH为菱形．

∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2＋∠3＝90°.

∴∠HEF＝90°.

∴四边形EFGH为正方形．

(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点．

∵BE綊DG，

∴四边形BGDE为平行四边形．

∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.

∴点O为正方形的中心．

∴直线EG必过正方形的中心．

题型四【平行四边形中的动点问题】

如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．

解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，

∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，

∴△ABE≌△CDF.

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.

∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，

∴∠AED＝∠CFB.

∴AE∥CF.

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