• 🙋‍♂️ 作者：海码007
• 📜 专栏：算法专栏
• 💥 标题：【Hot 100】279. 完全平方数
• ❣️ 寄语：书到用时方恨少，事非经过不知难！

引言

今天又是dp的题目，算法题做多了才会有自己的感悟。dp的题目就是和之前数学里面求数列的第n项的表达式一样。就是找出这个第n项的规律。dp也是这样，当前的状态由前面的状态决定（可能是前面一种状态，也可能是前面几种状态）。dp核心的地方就是找出这个状态转移方程。

完全平方数

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我的解题

感悟了半天，发现自己找不到状态转移方程，尴尬了。

好了，看了一遍题解知道大概的思路了，先定义一下 dp[i] 表示和为 i 的完全平方数的最少数量。 完全平方数可能得组成在区间 [1, √i ] 之间，所以需要遍历这个区间的每个数。在遍历第一个数时，则另一个数就是 i-1^2 ，所以这个问题就变成了计算 dp[i-1^2] 这个数值的问题。然后在循环中 int j = 1 循环到 √i 即可计算， dp[i] = 1 + dp[i - j * j];

class Solution {
public:int numSquares(int n) {// 返回和为n的完全平方数的最少数量vector<int> dp(n+1);dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i){// 找出最小值int minValue = INT_MAX;// 从1循环到√ifor (int j = 1; j * j <= i; ++j){minValue = min(minValue, dp[i - j*j]);}dp[i] = minValue + 1;}return dp[n];}
};

dp总结

1. DP 三要素的完整框架

   状态定义：明确 dp[i] 的具体含义（如您的定义：dp[i] 表示和为 i 的最小完全平方数数量）。

   转移方程：如何从子问题推导当前问题（如 dp[i] = min(dp[i - j²] + 1)）。

   初始条件：边界值的处理（如 dp[0] = 0，dp[1] = 1）。

2. DP 的两种实现方式

   自顶向下（记忆化搜索）：递归 + 备忘录，适合问题结构不直观时。

   自底向上（迭代填表）：您的代码采用的方式，更高效且避免递归开销。

3. 常见 DP 类型

   线性 DP（如斐波那契、爬楼梯）。

   背包问题（0-1 背包、完全背包——完全平方数本质是完全背包）。

   区间 DP（如矩阵链乘法）。

   树形 DP（在树结构上动态规划）。