■ 1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想。
一、提出背景
哥德巴赫在信中写道：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。”
1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一加强版本（想想为什么是加强的）：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。而哥德巴赫的原问题被称为弱哥德巴赫猜想，已于2013年被巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特证明。
二、“a+b”问题的推进
就是这样一个小学生也能听懂的问题，至今也没有解决。如果把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在“a + b”问题上的进展都是用所谓的筛法得到的，其推进情况如下：
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”，“4 + 9”，“3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。稍后证明了“3 + 3”和“2 + 3”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
1962年，我国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。
1966年，我国的陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成两个素数之和，或是一个素数和一个半素数之和”，距离“1+1”仅“一步之遥”。这是目前这一研究方向的最好结果。关于陈景润证明“1+2”的故事，可参考距“哥猜”最近的数学家——陈景润。
三、其他研究方向
1）三素数定理
如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。
这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。
后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。
2）例外集合
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。
这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。业余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。这个结论华老早在60年前就证明出来了。
3）几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。
我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。
这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。
这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗和德国数学家普赫塔合作取得的，这是一个很大的突破。
四、结语
高斯曾经说过：“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。”后来自希尔伯特提出23个问题以后（哥德巴赫猜想是第8个问题中的一个子问题），这句话又有了一个推广：如果说数学是科学的皇后，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠。
至今为止，哥德巴赫猜想仍然是未解之谜。也许，真的就存在一个初等证明，只是我们还没发现。尽管陈景润做出了举世瞩目的成就，但不得不承认的是，很多数学家为之奋斗了一辈子却毫无进展。我不去评价这种生活态度的好坏，站在理性的角度，我不鼓励也不反对现在的学生以后励志去攻克这样的难题，凭着自己的兴趣发展，一切顺其自然就好。
另外，关于研究哥德巴赫猜想的意义和作用，目前没有人知道，但不代表今后不会知道。笔者读大学期间，也问过老师，研究费马大定理有什么用？老师的回答是，以前爱因斯坦推出质能方程“E=mc2”的时候也不知道它有什么用，后来这个方程竟成了制造原子弹的理论依据（简单来说，就算m很小，由于c2很大，也可能产生很大的能量）。
所以我认为，基础数学研究，不应该以应用为目的，而应该以兴趣为基础。应用只是研究顺带产生的福利。传统的“经世致用”的思想可能也应该与时俱进了。
参考文献：
1.百度百科
2.历史上的今天
用加、减、乘、除和括号，将“1742年6月7日”中的4个数：6，7，17，42进行计算，得到32。
上期答案：（32-17）÷5×6=18
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