本文讨论外力作用下的单自由度系统的受迫振动，特别是详细讨论了系统的共振特性。

1. 受迫振动的解及其组成

根据文章1和2的描述，此时简谐力外力$f(t)=f_0\sin (\omega t)$。因此振动方程为：
$$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=f_0\sin (\omega t)(5.1)$$

这是一个二阶线性非齐次常微分方程。根据微分方程理论，该方程的解应为对应的齐次方程通解$\tilde{u}(t)$和非齐次方程的特解$u^{\ast }(t)$叠加而成：
$$u(t)=\tilde{u}(t)+u^{\ast }(t)(5.2)$$

式中，$\tilde{u}(t)$和$u^{\ast }(t)$分别满足下述方程：
$$\begin{array}{rl}& m\ddot{\tilde{u}}(t)+c\dot{\tilde{u}}(t)+k\tilde{u}(t)=0(5.3)\\ & m{\ddot{u}}^{\ast }(t)+c{\dot{u}}^{\ast }(t)+k{u}^{\ast }(t)=f_0\sin (\omega t)(5.4)\end{array}$$

式(5.3)的通解和(5.4)的特解分别为：
$$\begin{array}{rl}& \tilde{u}(t)={\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\left[a_1\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+a_2\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t)\right](5.5)\\ & u^{\ast }(t)=B_{\mathrm{d}}\sin (\omega t+{\Psi }_{\mathrm{d}})\end{array}(5.6)$$

将特解带入(5.4)，经过一系列数学变换（胡海岩，2005，P20），解出：
$$B_{\mathrm{d}}=\frac{f_0}{\sqrt{(k-m{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}},\tan {\Psi }_{\mathrm{d}}=-\frac{c\omega }{k-m{\omega }^2}(5.10)$$

从而可确定特解(5.6)的表达式。

设初始条件为$u(0)=u_0$和$\dot{u}(0)={\dot{u}}_0$，可确定系数$a_1,a_2$：
$$\begin{array}{rl}& a_1=u_0+\frac{2\xi {\omega }_{\mathrm{n}}^3\omega B_0}{({\omega }_{\mathrm{n}}^2-{\omega }^2{)}^2+(2\xi {\omega }_{\mathrm{n}}\omega {)}^2}\\ & a_2=\frac{{\dot{u}}_0+\xi {\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}{{\omega }_{\mathrm{d}}}-\frac{\omega {\omega }_{\mathrm{n}}^2{B}_0\left[({\omega }_{\mathrm{n}}^2-{\omega }^2{)}^2-2{\xi }^2{\omega }_{\mathrm{n}}^2\right]}{{\omega }_{\mathrm{d}}\left[({\omega }_{\mathrm{n}}^2-{\omega }^2{)}^2+(2\xi {\omega }_{\mathrm{n}}\omega {)}^2\right]}\end{array}(5.11)$$

式中$B_0=f_0/k$表示静力幅$f_0$作用下的位移。给出参数，可绘制非齐次常微分方程的解式(5.2)，图1给出了解的典型曲线，说明了解的构成，胡海岩（2005，P21）给出了该曲线详细的解释。虚线为通解$\tilde{u}(t)$所描述的瞬态振动，随着时间推移，特解$u^{\ast }(t)$所描述的稳态振动仍然不随时间变化，因此时间越久简谐振动越占主导地位，逐渐演变为简谐振动主导的阶段称为过渡过程。

图1 解的构成（虚线为通解$\tilde{u}(t)$，实线之一为特解$u^{\ast }(t)$稳态简谐振动）

2. 稳态阶段的幅频特性曲线

由于图1所示的过渡过程时间很短，因此在实际应用中主要关心稳态过程，即振动方程解式(5.2)的特解部分$u^{\ast }(t)$。本节引入位移幅频特性曲线、速度幅频特性曲线、加速度幅频特性曲线描述稳态振动。

2.1 位移幅频特性曲线、位移相频特性曲线

定义两个无量纲量，分别称为频率比和位移振幅放大因子：
$$\lambda =\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{n}}},{\beta }_{\mathrm{d}}=\frac{B_{\mathrm{d}}}{B_0}(5.12)$$

借助这两个无量纲量，式(5.10)进一步写为：
$${\beta }_{\mathrm{d}}=\frac{1}{\sqrt{(1-{\lambda }^2{)}^2+(2\xi \lambda {)}^2}},{\Psi }_{\mathrm{d}}=\arctan \left(-\frac{2\xi \lambda }{1-{\lambda }^2}\right)(5.14)$$

由式(5.14)可知，振动幅值${\beta }_{\mathrm{d}}$随外界激励频率$\lambda$的变化可由位移幅频特性曲线${\beta }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$描述，初相位${\Psi }_{\mathrm{d}}$随$\lambda$的变化可由位移相频特性曲线${\Psi }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$描述。

在不同阻尼比$\xi$下，可绘制${\beta }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$和${\Psi }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$曲线，如图2所示。

胡海岩（2005，P22）给出了关于${\beta }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$和${\Psi }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$曲线特性详细的描述，例如：（1）对于${\beta }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$曲线来说，在$\lambda =1$偏左的位置，出现峰值，且阻尼比越小峰值越大；当$\lambda \ll 1$时，${\beta }_{\mathrm{d}}\approx 1$，表明$B_{\mathrm{d}}\approx B_0$；当$\lambda \gg 1$时，${\beta }_{\mathrm{d}}\approx 0$，表明$B_{\mathrm{d}}\approx 0$，表明系统此时几乎静止不动。（2）对于${\Psi }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$曲线来说，在$\lambda =1$时，无论阻尼比$\xi$如何变化，$\lambda$总是等于$-\pi /2$，即落后于外界激励$\pi /2$；阻尼比$\xi$非常小时，$\lambda =1$的左右两侧的相位差几乎为$\pi$，因此$\lambda =1$称为反相点；当$\xi =0.707$，曲线在$0<\lambda <1$时接近为直线。

图2 ${\beta }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$和${\Psi }_{\mathrm{d}}$-$\lambda$曲线

2.2 速度/加速度幅频特性曲线

类似地，我们也可求得速度幅频特性曲线、加速度幅频特性曲线。求特解(5.6)的时间导数：
$${\dot{u}}^{\ast }(t)=\omega B_{\mathrm{d}}\cos (\omega t+{\Psi }_{\mathrm{d}})=B_{\mathrm{v}}\sin (\omega t+{\Psi }_{\mathrm{v}})$$

定义上式中的$B_{\mathrm{v}}=\omega B_{\mathrm{d}}$，${\Psi }_{\mathrm{v}}={\Psi }_{\mathrm{d}}+\pi /2$。式(5.14)给出了$B_{\mathrm{d}}$的表达式。速度振幅放大因子定义如下，结合式(5.14)：
$${\beta }_{\mathrm{v}}=\frac{B_{\mathrm{v}}}{{\omega }_{\mathrm{n}}{B}_0}=\lambda {\beta }_{\mathrm{d}}=\frac{\lambda }{\sqrt{(1-{\lambda }^2{)}^2+(2\xi \lambda {)}^2}}(5.17)$$

这就是速度幅频特性曲线${\beta }_{\mathrm{v}}$-$\lambda$，如图3所示。

图3 速度幅频特性曲线${\beta }_{\mathrm{v}}$-$\lambda$

类似地，可求出加速度幅频特性曲线，特解的加速度为：
$$u^{\ast }(t)=-{\omega }^2{B}_{\mathrm{d}}\sin (\omega t+{\Psi }_{\mathrm{d}})=B_{\mathrm{a}}\sin (\omega t+{\Psi }_{\mathrm{a}})$$

定义上式中的$B_{\mathrm{a}}=-{\omega }^2{B}_{\mathrm{d}}$，${\Psi }_{\mathrm{a}}={\Psi }_{\mathrm{d}}+\pi$。式(5.14)给出了$B_{\mathrm{d}}$的表达式。加速度振幅放大因子定义如下：
$${\beta }_{\mathrm{a}}=\frac{B_{\mathrm{a}}}{{\omega }_{\mathrm{n}}^2{B}_0}={\lambda }^2{\beta }_{\mathrm{d}}=\frac{{\lambda }^2}{\sqrt{(1-{\lambda }^2{)}^2+(2\xi \lambda {)}^2}}(5.20)$$

这就是加速度幅频特性曲线${\beta }_{\mathrm{a}}$-$\lambda$，如图4所示。

图4 加速度幅频特性曲线${\beta }_{\mathrm{a}}$-$\lambda$

3. 稳态响应的特征

3.1 低频段（$0<\lambda \ll 1$）

由图2a，3，4可知，此时${\beta }_{\mathrm{d}}\approx 1,{\beta }_{\mathrm{v}}\approx 0,{\beta }_{\mathrm{a}}\approx 0$，由于${\beta }_{\mathrm{d}}=B_{\mathrm{d}}/B_0\approx 1$，此时可将系统近似视为静态。
稳态振动与外界激励的相位差为${\Psi }_{\mathrm{d}}\approx 0,{\Psi }_{\mathrm{d}}\approx \pi /2,{\Psi }_{\mathrm{a}}\approx \pi$，即稳态振动的位移与外界激励基本同相位。

3.2 高频段（$\lambda \gg 1$）

由图2a，3，4可知，此时${\beta }_{\mathrm{d}}\approx 0,{\beta }_{\mathrm{v}}\approx 0,{\beta }_{\mathrm{a}}\approx 1$。

由于加速度振幅放大因子${\beta }_{\mathrm{a}}=B_{\mathrm{a}}/({\omega }_{\mathrm{n}}^2{B}_0)\approx 1$，此时$B_{\mathrm{a}}\approx {\omega }_{\mathrm{n}}^2{B}_0=f_0/m$。

稳态振动与外界激励的相位差为${\Psi }_{\mathrm{d}}\approx -\pi ,{\Psi }_{\mathrm{d}}\approx -\pi /2,{\Psi }_{\mathrm{a}}\approx 0$，可知稳态振动的加速度与外界激励基本同相位。

3.3 共振（$\lambda \approx 1$）

对于$\lambda \approx 1$的情况，尤其是$\xi <1/\sqrt{2}\approx 0.707$的欠阻尼系统（关于欠阻尼振动参考文章2《振动力学：有阻尼单自由度系统》），由图2a，3，4可知，此时位移、速度、加速度等量在$\lambda \approx 1$附近时（具体而言，发生位移共振、速度共振和加速度共振的$\lambda$值不同，见下述讨论），均会出现极大值，引发系统强烈振动，这种现象称为共振。

对式(5.14a)的位移振幅放大因子求极值，可知位移振幅达到极大值时的频率比为（即发生位移共振的频率比）：
$${\lambda }_{\mathrm{d}}=\sqrt{1-2{\xi }^2}$$

类似地，分别求式(5.17)、(5.20)的极值：可得发生速度共振和加速度共振的频率比：
$$\begin{gathered} {\lambda }_{\mathrm{v}}=1 \\ {\lambda }_{\mathrm{a}}=\frac{1}{\sqrt{1-2{\xi }^2}} \end{gathered}$$

一般而言，欠阻尼振动的阻尼比非常小（例如$\xi <0.2$，胡海岩，2005，P18），因此${\lambda }_{\mathrm{d}},{\lambda }_{\mathrm{v}},{\lambda }_{\mathrm{a}}$的差异也非常小。另一方面，由于${\lambda }_{\mathrm{v}}=1$，因此速度共振恰好精确地反映了系统的共振特性。

共振时，${\beta }_{\mathrm{d}}={\beta }_{\mathrm{v}}={\beta }_{\mathrm{a}}=1/(2\xi )$，从而可知稳态阶段的速度幅值为$B_{\mathrm{v}}={\beta }_{\mathrm{v}}{\omega }_{\mathrm{n}}{B}_0\approx f_0/c$。与外界激励的相位差为${\Psi }_{\mathrm{d}}\approx -\pi /2,{\Psi }_{\mathrm{d}}\approx 0,{\Psi }_{\mathrm{a}}\approx \pi /2$。

${\Psi }_{\mathrm{d}}\approx 0$ 进一步证明了速度共振恰好精确地反映了系统的共振特性，又称为相位共振。

共振对多数工程是有害的，如桥梁、建筑和机械设备等长期处于共振状态下容易产生裂纹甚至断裂；产生刺耳的噪声污染，如高速旋转的发动机、风机叶片在共振时会产生异常声响；产生过大的动载荷，严重影响系统正常工作。但是人们也可利用共振，例如在道路施工机械中，压路机利用共振原理（工作频率接近土壤固有频率）可显著提高压实效率；在矿山机械领域，振动筛通过精确匹配物料固有频率；超声波清洗设备利用共振原理，使清洗液产生空化效应，达到高效清洁目的。

4. 共振的进一步讨论：共振区和系统品质因数

对应于速度振幅放大系数${\beta }_{\mathrm{v}}$的$1\sim 1/\sqrt{2}$倍范围的频率比$\lambda$，称为共振区。

无线电学中引入了系统品质因数，来描述共振区宽度和共振的强烈程度：
$$Q=\frac{1}{2\xi }={\beta }_{\mathrm{d}}={\beta }_{\mathrm{v}}={\beta }_{\mathrm{a}}$$

在共振区的两个端点$A,B$处的速度振幅放大系数为$Q/\sqrt{2}$。它们对应的系统功率恰好是共振频率对应功率的一半，故称点$A,B$为半功率点。可证明，共振区的带宽为$\Delta \lambda =1/Q=2\xi$。表明，阻尼越小品质因数越高，共振区越窄；反之，阻尼越大品质因数越低，共振区越宽，共振峰越平坦。在实际应用中，如果已知位移幅频特性曲线，可以反求阻尼，即从曲线中可知$\Delta \lambda$，于是阻尼$\xi =\Delta \lambda /2$。

5. 一个例子

考察一个欠阻尼系统，外界激励的频率与系统固有频率相等，即${\omega }_{\mathrm{n}}=\omega$，初始时刻系统处于平衡位置，求激振力$f_0\cos (\omega t)$作用下的系统运动。

振动方程为：
$$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=f_0\cos ({\omega }_{\mathrm{n}}t)=f_0\sin ({\omega }_{\mathrm{n}}t+\frac{\pi }{2})$$

通解为式(5.5)(5.6)：
$$u(t)={\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\left[a_1\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+a_2\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t)\right]+B_{\mathrm{d}}\sin ({\omega }_{\mathrm{n}}t+{\Psi }_{\mathrm{d}}+\frac{\pi }{2})$$

由前述分析知，在$\lambda =1$处${\Psi }_{\mathrm{d}}=-\pi /2$，$B_{\mathrm{d}}=f_0/(c{\omega }_{\mathrm{n}})$。

于是，通解进一步写为：
$$u(t)={\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\left[a_1\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+a_2\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t)\right]+\frac{f_0}{c{\omega }_{\mathrm{n}}}\sin ({\omega }_{\mathrm{n}}t)$$

系数$a_1,a_2$可由初始条件求得，设初始条件为$u(0)=u_0$和$\dot{u}(0)={\dot{u}}_0$（求到的$a_1,a_2$表达式略）。另一方面，由于欠阻尼振动$\sqrt{1-{\xi }^2}\approx 1$，因此解可化简为：
$$u(t)\approx \frac{f_0}{c{\omega }_{\mathrm{n}}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\right)\sin ({\omega }_{\mathrm{n}}t)$$

可根据上式作出振动过程的位移时程曲线。

参考资料

文章1：振动力学：无阻尼单自由度系统
文章2：振动力学：有阻尼单自由度系统
胡海岩. 机械振动基础. 北京航空航天大学出版社. 2005