和

，那么它们的乘积的前两位就是

和

的乘积，后两位就是

和

的乘积。

比如，47和43的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是 ，后两位就是 。也就是说， 。

类似地， ， ， ，等等。

这个速算方法背后的原因是， 对任意

和

都成立。

03

翻倍，再翻倍！

将123 456 789翻倍，你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列：

结果依旧使用了每个数字各一次。这仅仅是一个巧合吗？我们继续翻倍：

神奇啊，一个很有特点的数987 654 312，显然每个数字又只用了一次。

你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成10位数了。不过，请看：

又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字0。再来？

恐怖了，又是每个数字各出现一次。

出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。

但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后，虽然仍然是10位数，但偏偏就在这时发生了意外：

看来，寻找一个合理的解释，并不是一件轻而易举的事情。

04

唯一的解

经典数字谜题：用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。

没错，真的有这样猛的数：381 654 729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也可以利用计算机编程找到。

另一个有趣的事实是，在所有由1到9所组成的362 880个不同的九位数中， 381 654 729是唯一一个满足要求的数！

05

幻方之幻

一个“三阶幻方”是指把数字1到9填入

的方格，使得每一行、每一列以及两条对角线的3个数之和正好都相同。图1就是一个三阶幻方，每条直线上的3个数之和都等于15。

图　1

大家或许都听说过幻方这东西，但是并不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有

利用线性代数，我们可以证明这个结论。

06

天然形成的幻方

从

到

这18个分数的小数循环节长度都是18。像图2那样把这18个循环节排成一个

的数字阵，这将恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81。

图　2

07

一个小魔术

在一张纸上并排画11个小方格，叫你的好朋友背对着你（让你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第3个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第10个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是7和3，那么前10个方格里的数分别是：

7

3

10

13

23

36

59

95

154

249

现在，叫你的朋友报出第10个方格里的数，稍作计算你便能猜出第11个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第11个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！

其实，仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第10个数乘以1.618，得到的乘积就是第11个数了。在上面的例子中，由于 ，因此你可以胸有成竹地断定，第11个数就是403。而事实上，154与249相加真的就等于403。

其实，不管最初两个数是什么，按照这种方式加下去，相邻两数之比总会越来越趋近于1.618——这个数正是传说中的“黄金分割”。

08

3个神奇的分数

利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象产生的原因。

作者：顾森

本书是一个疯狂数学爱好者的数学笔记，面向所有喜爱数学的读者。本书包括5部分内容，即生活中的数学、数学之美、几何的大厦、精妙的证明、思维的尺度，涉及48篇精彩的文章。即使你不喜欢数学，也会为本书的精彩所倾倒。