一、算法逻辑

层次聚类（Hierarchical Clustering）通过构建树状结构（树状图/Dendrogram）揭示数据内在的层次关系，分为两类：

1. 凝聚式（Agglomerative）
   • 自底向上：每个样本初始为一个簇 → 迭代合并最近簇 → 最终形成单一簇
   • 流程：

     计算距离矩阵 → 合并最近簇 → 更新距离矩阵 → 重复至终止
     

2. 分裂式（Divisive）
   • 自顶向下：所有样本初始为一个簇 → 迭代分裂最异质簇 → 直至每个样本一簇
   • 计算复杂度高，较少使用

核心特点：

• 无需预设聚类数
• 树状图可视化层次关系
• 合并/分裂过程不可逆

二、算法原理与数学推导

1. 距离度量

设样本 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} X={x1​,x2​,...,xn​}, $x_i\in {\mathbb{R}}^d$
常用距离：

• 欧氏距离：$$d(x_i,x_j)=\sqrt{\sum _{k=1}^d(x_{ik}-x_{jk}{)}^2}$$
• 曼哈顿距离：$$d(x_i,x_j)=\sum _{k=1}^d|x_{ik}-x_{jk}|$$

2. 簇间距离计算（连接标准）

类型	公式	特点
单连接	$$d_{\text{min}}(C_i,C_j)=\underset{a\in C_i,b\in C_j}{\min }d(a,b)$$	易形成链式结构
全连接	$$d_{\text{max}}(C_i,C_j)=\underset{a\in C_i,b\in C_j}{\max }d(a,b)$$	对噪声敏感
质心法	$$d_{\text{cent}}(C_i,C_j)=d({\mu }_i,{\mu }_j)$$	可能导致逆反（Inversion）

其中 ${\mu }_i=\frac{1}{|C_i|}{\sum }_{x\in C_i}x$ 为簇质心，$\Delta \text{SSE}$ 为合并后的簇内平方和增量。

3. 算法伪代码（凝聚式）

输入: 数据集 X, 连接标准  
输出: 树状图  
1. 初始化 n 个簇，每个簇包含一个样本  
2. 计算所有簇对的距离矩阵 D  
3. for k = n to 1:  
4.   找到 D 中最小距离的簇对 (C_i, C_j)  
5.   合并 C_i 和 C_j 为新簇 C_{new}  
6.   更新距离矩阵 D（移除 C_i, C_j，添加 C_{new}）  
7.   记录合并高度（距离）  
8. 生成树状图  

三、模型评估

1. 内部评估指标

• 轮廓系数（Silhouette Coefficient）：
  s ( i ) = b ( i ) − a ( i ) max ⁡ { a ( i ) , b ( i ) } s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max\{a(i), b(i)\}} s(i)=max{a(i),b(i)}b(i)−a(i)​
  $a(i)$：样本 $i$ 到同簇其他点的平均距离，$b(i)$：到最近其他簇的平均距离。$s(i)\in [-1,1]$，越大越好。
• 共表型相关（Cophenetic Correlation）：
  衡量树状图距离与原始距离的一致性（值接近1表示层次结构保留良好）

2. 外部评估指标（已知真实标签）

• 调整兰德指数（Adjusted Rand Index, ARI）
• Fowlkes-Mallows Index（FMI）

3. 超参数选择

• 切割高度选择：通过树状图的"最长无交叉垂直边"确定聚类数
• 连接标准选择：
  • 单连接：适合非凸形状
  • Ward法：适合凸簇且噪声少

四、应用案例

1. 生物信息学

• 基因表达聚类：对RNA-seq数据聚类，识别功能相似的基因模块
• 工具：GenePattern、Cluster 3.0

2. 文档主题分层

• 步骤：
  1. 文档→TF-IDF向量
  2. 余弦距离 + 平均连接
  3. 切割树状图得到主题层级（如：科技→AI→CV/NLP）

3. 图像分割

• 流程：
  像素→颜色+坐标特征 → Ward法聚类 → 合并相似区域
• 优势：保留空间连续性

4. 社交网络分析

• 用户行为数据聚类 → 发现社区层级结构（如：核心用户群→子兴趣组）

五、面试题及答案

常见问题

1. Q: 层次聚类与K-means的本质区别？
   A:

   • 层次聚类生成树状结构，K-means生成平面划分
   • 层次聚类无需预设K，K-means需指定聚类数
   • 层次聚类复杂度 $O(n^3)$，K-means为 $O(nk)$

2. Q: Ward法的目标函数是什么？
   A: 最小化合并后的簇内平方和增量：
   $$\Delta \text{SSE}=\frac{|C_i||C_j|}{|C_i|+|C_j|}\Vert {\mu }_i-{\mu }_j{\Vert }^2$$

3. Q: 何时选择全连接而非单连接？
   A: 当需要紧凑球形簇且数据噪声较少时；单连接易受噪声影响形成链式结构。

4. Q: 如何处理大规模数据？
   A:

   • 使用优先队列优化到 $O(n^2\log n)$
   • 采样或Mini-Batch
   • 切换为BIRCH（平衡迭代规约聚类）算法

六、相关论文

1. 奠基性论文：

   • Ward, J. H. (1963). Hierarchical Grouping to Optimize an Objective Function
     贡献：提出Ward最小方差法
   • Johnson, S. C. (1967). Hierarchical Clustering Schemes
     贡献：系统化连接标准

2. 高效优化：

   • Murtagh, F. (1983). A Survey of Recent Advances in Hierarchical Clustering Algorithms
     贡献：提出 $O(n^2)$ 单连接算法

3. 生物学应用：

   • Eisen, M. B., et al. (1998). Cluster Analysis of Gene Expression Data
     工具：开发TreeView软件

七、优缺点对比

优点	缺点
1. 可视化强（树状图展示层次）	1. 计算复杂度高（凝聚式 $O(n^3)$）
2. 无需预设聚类数	2. 合并/分裂后不可逆
3. 灵活选择距离/连接标准	3. 对噪声和离群点敏感（尤其全连接）
4. 适合层次结构数据（如生物分类学）	4. 大样本内存消耗大

总结

• 核心价值：揭示数据内在层次关系（如生物进化树、文档主题树）
• 工业选择：中小规模数据用层次聚类（<10k样本），大规模用BIRCH或HDBSCAN
• 关键决策：距离度量 + 连接标准（Ward法最常用）
• 趋势：与深度学习结合（如深度层次聚类）