4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．

经典难题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．

答 案

经典难题（一）

1、如下图做GH⊥AB，连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH=∠OEG，即△GHF∽△OGE，

可得EO/GF=GO/GH=CO/CD，又CO=EO，

所以CD=GF得证。

2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15°

所以∠DCP=30°，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC 1 和AB 1 分别找其中点F,E.连接C 2 F与A 2 E并延长相交于Q点，

连接EB 2 并延长交C 2 Q于H点，连接FB 2 并延长交A 2 Q于G点，

由A 2 E=1/2A 1 B 1 =1/2B 1 C 1 =FB 2 ，EB 2 =1/2AB=1/2BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=90°和

∠GEB 2 +∠Q=90°,所以∠GEB 2 ,=∠GFQ又∠B 2 FC 2 =∠A 2 EB 2 ,

可得△B 2 FC 2 ≌△A 2 EB 2 ,所以A 2 B 2 =B 2 C 2 ,

又∠GFQ+∠HB 2 F=90°和∠GFQ=∠EB 2 A 2 ,

从而可得∠A 2 B 2 C 2 =90°，

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A 2 B 2 C 2 D 2 是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

由于AD/AB=AC/AE=CD/BE=2FD/2BG=FD/BG

由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC＝∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，

∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ。

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ= (EG+ FH)/2。

由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。

从而可得PQ=(AI+BI)/2=AB/2，从而得证。

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.

由于∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。

∠AGB=30°，既得∠EAC=30°，从而可得∠AEC=75°。

又 ∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°.

可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=30°,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=15°，

又∠FAE=90°+45°+15°=150°,

从而可知道∠F=15°，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=Y-X。

tan∠BAP＝tan∠EPF＝X／Y＝Z／（Y-X+Z），可得YZ=XY-X 2 +XZ，

即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，

得到PA=PF，得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP 60°，连接PQ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=150°。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.

可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC,可得： BE／BC＝ AD／AC

即AD·BC=BE·AC ①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

AB／AC＝DE／DC，即AB·CD=DE·AC ②

由①+②可得：AB·CD+AD·BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得证。

4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由S△ADE=S□ABCD=S△DFC，可得：AE·PQ／2＝AE·PQ／2，由AE=FC。

可得DQ=DG，可得∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）。

经典难题（五）

1.顺时针旋转△BPC 60°，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=√3：

2.顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。

3.顺时针旋转△ABP 90度，可得如下图：

4.在AB上找一点F,使∠BCF=60°,

连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，

可得∠DCF=10°，∠FCE=20°，推出△ABE≌△ACF，

得到BE=CF，FG=GE。

推出：△FGE为等边三角形，可得∠AFE=80°，既得：∠DFG=40°①

又BD=BC=BG，既得∠BGD=80，既得∠DGF=40°②

推得：DF=DG，得到：△DFE≌△DGE，

从而推得：∠FED=∠BED=30°。

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