AVL定义

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度（有些教材写的左子树的高度减去右子树的高度），也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。

AVL树出现的原因

二叉搜索树在部分情况会导致其搜索效率低，比如在一条分支上面。所以AVL树使得二叉搜索树具有实际意义，其让二叉搜索树的搜索效率更快，因为其保持了平衡。

AVL的插入

1. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新
2. 从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

平衡因子的更新

1. 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
2. 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
3. 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦–
4. parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新。
5. 更新停止条件：
   更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
   更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
   更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：
   1、 把parent⼦树旋转平衡。
   2、 降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不
   需要继续往上更新，插⼊结束。
   不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

旋转

旋转是AVL树的重头戏，其就是二叉搜索树保持平衡的重要手段
旋转需要保持搜索树的规则，让旋转的树变平衡，降低旋转树的⾼度。

左单旋

如果该结点的平衡因子是2/-2，那么就说明其并不平衡，如果该结点的平衡因子为2并且其右子树的平衡因子为1，就说明该结点的右孩子的右孩子高，所以进行左单旋将其高度降下来。具体步骤如下：

1. 将该结点的右指针指向该结点右孩子的左孩子
2. 让该结点的右孩子的左指针指向该结点
3. over。
   插入后的如图：
   旋转之后如图：
   

右单旋

与左单旋类似，如果该结点的平衡因子为-2并且其左子树的平衡因子为-1，就说明该结点的左孩子的左孩子高，所以进行右单旋将其高度降下来。左单旋步骤如下：

1. 将该结点的左指针指向该结点左孩子的右孩子
2. 将该结点左孩子的右指针指向该结点
3. over
   如图：
   

左右双旋

左右双旋就是该结点的左孩子的右孩子高，就进行左右双旋，即先对该结点的左孩子进行左旋，目的是把左右高变为单纯的左高，在左旋之后，再对原结点（parent）进行右单旋。
但这里有个细节，我们需要进行分类讨论，因为左孩子的右孩子右三种情况

1. 其左孩子高，即新插入的在其左孩子。
2. 其右孩子高，即新插入的在其右孩子。
3. 只有其一个，即新插入的就是其本身。
   分类的目的就是我们需要更新平衡因子，如果是第一种，那么高的部分就会来到原结点（parent）的左孩子（SubL）的右孩子（SubLR）部分，因为在左旋的时候会将其分过来，这样SubL的平衡因子就是0，原结点（parent）就是1，而SubLR就是0.
   其余情况就不一 一列举了。

右左双旋

右左双旋与左右双旋类似，都是需要在更新平衡因子的时候分类讨论

杂谈

关于AVL树的最主要就是其插入过程的旋转，什么时候需要哪种旋转，该怎么旋转是最重要的，在思考旋转的时候是需要画图的

ps（我写双旋的时候通过测试发现了问题，也才知道断点可以进行条件断点，也可以用if语句来快速来到出问题的插入位置）。

完整代码

Prime的AVL树仓库