包子凑数

题目描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 NN 种蒸笼，其中第 ii 种蒸笼恰好能放 AiAi​ 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 XX 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 XX 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述

第一行包含一个整数 NN (1≤N≤1001≤N≤100)。

以下 N 行每行包含一个整数 AiAi​ (1≤Ai≤1001≤Ai​≤100)。

输出描述

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例

示例 1

输入

2
4
5

输出

6

样例说明

凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例 2

输入

2
4
6

输出

INF

样例说明

所有奇数都凑不出来，所以有无限多个

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

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难度: 困难   标签: 2017, 裴蜀定理, 省赛, 动态规划

问题分析：包子凑数（裴蜀定理 + 动态规划）

核心算法思路

1. ​​裴蜀定理应用​​：

   • 若所有蒸笼容量 Ai​ 的最大公约数 g=1，则存在无限多个无法凑出的数（输出 INF）
   • 若 g=1，则无法凑出的数是有限的（需动态规划统计）。

2. ​​动态规划（完全背包）​​：

   • ​​状态定义​​：dp[j] = true 表示能凑出 j 个包子。
   • ​​初始化​​：dp[0] = true（0 个包子不需要任何蒸笼）
   • ​​状态转移​​：

     for (每种蒸笼容量 a[i]) for (j = a[i]; j <= MAX; j++) dp[j] = dp[j] || dp[j - a[i]];

   • ​​统计结果​​：遍历 dp[1..MAX]，计数 dp[j] = false 的数量

算法步骤

1. ​​计算最大公约数​​：

   • 初始化 g=A0​，遍历 g=gcd(g,Ai​)。
   • 若 g=1，输出 INF 并结束。

2. ​​动态规划求解​​：

   • 设背包容量 MAX = 10000（因 Ai​≤100，最大不可凑数 <1002）
   • 对每种蒸笼容量更新 dp 数组。

3. ​​统计无法凑出的数量​​：

   • 遍历 dp[1..MAX]，统计 false 的个数。

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C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;// 计算最大公约数
int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}int main() {const int MAX = 10000;  // 背包最大容量int n;cin >> n;vector<int> a(n);vector<bool> dp(MAX + 1, false);  // dp数组初始化// 输入并计算最大公约数int g = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];g = (i == 0) ? a[i] : gcd(g, a[i]);}// 检查最大公约数if (g != 1) {cout << "INF" << endl;return 0;}// 动态规划（完全背包）dp[0] = true;  // 初始化：0个包子可凑出for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = a[i]; j <= MAX; j++) {if (dp[j - a[i]]) dp[j] = true;  // 状态转移}}// 统计无法凑出的数量int count = 0;for (int i = 1; i <= MAX; i++) {if (!dp[i]) count++;}cout << count << endl;return 0;
}

代码解析

1. ​​最大公约数计算​​：

   • 使用递归实现辗转相除法，时间复杂度 O(log(min(Ai​)))

2. ​​动态规划核心​​：

   • ​​空间优化​​：使用一维 dp 数组，避免二维空间开销
   • ​​完全背包逻辑​​：每种蒸笼无限使用，内层循环正序更新（区别于01背包的逆序）

3. ​​边界与效率​​：

   • ​​背包容量​​：MAX=10000 的设定基于裴蜀定理（Ai​≤100 时最大不可凑数 <1002）
   • ​​时间复杂度​​：O(N×MAX)，满足 N≤100、MAX=104，1秒内可完成

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示例验证

• ​​输入 [4, 5]​​：
  • g=gcd(4,5)=1，动态规划后统计得无法凑出 {1,2,3,6,7,11}，输出 6。
• ​​输入 [4, 6]​​：
  • g=gcd(4,6)=2=1，直接输出 INF