数学基础/对哲学的应用 !

对数学的应用 !!!

历史原因 !!!

内在的发展 !!!!

美感 !!!!!!!!!

证明的乐趣 !!!!!

一般化 !!!!!!

游戏娱乐 [加上流行的规则] !!!

我们也可以用这些话题对当前集合论的工作和学者评价分类，所以下面我们将重点强调它们的差异。在很大程度上我被吸引到数学然后是数理逻辑中来是因为它们的一般化，我以为我这种一般化观点是正确的；看来我似乎错了。我感到例子经常会把你搞糊涂：特殊的性质只是陷阱因为它们在普通的情况下不成立，注意“一般化”我是指我宁愿以一般的一阶完全理论为研究对象，而不是有限Morley秩的单群，但我的信条不是"不要只见树木，不见森林“，处理每个问题都要根据它的特性，找到你自己的领域对其他领域的应用意味着展示一些其他人会感兴趣的东西；但是给你一个问题，为什么不做到最好，把它做最大的推广呢，当然，如果定理已经被证明，而额外的推广是平凡的，那也是没意思的。

从另一个角度来看，我的很多同行，包括一些集合论领域里最优秀的大脑，对他们自己领域的自卑态度让我感到吃惊，他们很多在面对数学家时感到自卑，似乎这里有数学家，这里有逻辑学家，它们是不相干的领域，他们认为数学家是真正工作在更深，更难，更丰富，更有意义的领域，所以我们数理逻辑学家必须通过找到”数理逻辑“对”数学“的应用来证明我们的存在。这导致对数学的应用，逻辑学家做的大量工作，就像Abraham Robinson学派所做的那样。现在我喜欢在很多数学领域证明定理，只要我能做到，但是我不喜欢这种数理逻辑领域里的的卑屈态度.

很多其他人在发挥集合论对数学基础和哲学的作用做了很多工作，对此我也没有异议，但是有疑意。我的感受和很多作家类似：他们了解批评家对文化生活的作用，但认为墨守批评家的思想只会导致枯燥的作品，而这些思想本身会因为它们的内在美永远散发光芒。还有人为集合论”美好旧时时光“的失去而抱怨，那时证明由想法组成而不像现在这样具有技术性，大体来说，我不是”美好旧时时光“的支持者，因为那时忽视你技术性的能力，而技术性却是我的旗帜，很多次技术不是实现想法的例行事务，而是为组织，想法等等证明中的所有环节工作。这些技术是相当困难的，往往也包含有重要的新思想。我的感受，用夸张的方式来说，就是集合论的美感是永恒的，而它的哲学价值却受潮流引导.并且我感到这些抱怨者的话是相互矛盾的，比如他们有的说数理逻辑现在比以前更数学化了，有的说数理逻辑处理的事情是有意义的，顺便说一下，这些矛盾的观点在实践中却是不矛盾的，很多人支持当中不止一种观点。

关于集合论美感，我是指在一个结构中，定义，定理，证明和谐的占有位置的美感。但是复杂的证明我也不怕。当我是一个本科生的时候，在Birkhoff-Maclane的书里，我发现Galois理论很漂亮，后来我发现Morley理论和它的证明很漂亮。厌烦的读者可能会大怒：”美感？你可以在自己的脏乱中找到美感的痕迹？“，我只能说各有各的爱好，我的即是如此。

话题 B: 集合论的框架

1. ZFC（译注：Zemelo-Frankel的8条公理＋选择公理）!!!!!!!

2. 力迫法 !!!!

3. 内模型 !!!

4. 大基数 !!!

5. ZF+依赖选择公理(DC)+ 一些形式的决定性公理 !

ZFC（译注：Zemelo-Frankel的8条公理＋选择公理）!!!!!!!

力迫法 !!!!

内模型 !!!

大基数 !!!

ZF+依赖选择公理(DC)+ 一些形式的决定性公理 !

这是一个合理但有交叉的划分，无论如何，我们都是在ZFC的框架内证明定理,从ZFC 框架的支持者的观点来看，证明定理意味着在ZFC框架内证明它，其它的框架是辅助的，对此，我相当认同。力迫法告诉我们什么时候不能证明一个定理，大基数用来做协调性证明，运气好时大基数也能排列成线形序比较大小，最后，内模型用来表明大基数是必需的，或者得到更好的等价性的结果。我的感受是除了像协调性的结果外，ZFC框架已经涵盖了我们的直觉范围，所以一个证明就是指ZFC框架下的一个证明，这当然是一个认为ZFC框架合理的强有力的证据.强化的力迫法本质上告诉我们所有的全体集合域都是同样正当的，因此我们应该研究有特殊的代表性的全体集合域，比如可构成集L就没有代表性，力迫法表明在ZFC框架下证明定理或假设广义连续统假设成立就是无所谓的事，这是力迫法很强的结论，但是我怀疑这种对力迫法的观点会有人支持。从折衷的观点看，力迫法框架和ZFC框架是互补的，一种框架给出另一种框架内结果的否定，所以你对一种框架感兴趣，你对另一种框架也会感兴趣，事实上，我被迫严肃的处理力迫法是我想证明：在解决阿贝尔群基数的Whitehead问题中，我用阿列夫1势集合的每个稳定子集上的diamond定理是正确的，因为连续统假设不够强（从我的感受来说，文[Sh 64]; [BD]中的力迫法太弱了）。

J. Stern 埋怨我，就在他全身心投入到力迫法前的两年，仔细向他解释为什么ZFC框架下的证明是最好的，为什么我喜欢ZFC框架下的证明而不是独立性结果。我仍然认为ZFC框架下一个干脆的答案是最好的，即使一个证明独立性结果的新技巧可能更有趣。对于我，Cohen的力迫法比连续统假设的一个证明要有趣得多，因为Cohen给了我们一个一般化的方法——力迫法。

如果你对ZFC框架的兴趣是认真严肃的，你应该把力气放在下面：

问题：在ZFC框架下给出构造性的证明

我们现在知道如果可构成公理成立，在ZFC框架下更容易得出构造性的证明。这点是不错的，如果你想表明某个定理不能被证明的话，你只要在某个全体集合域下证明这一点就可以了。例如在某基数真类存在的条件下，在 文[GuSh 151]中证明线性序的一阶理论里可以解释二阶逻辑，现在来看这个条件的限制是很弱的，把这么弱的限制条件去掉有多大的意义呢？我已经在这样的问题上做了相当多的工作，见文[Sh 300, III], [Sh:e] 和 [Sh 284b]。当然，在ZFC框架下不能得到构造性的证明的话，在某个全体集合域下得到构造性的证明是很有意义的。

早些时候，尤其是Cohen的工作以前，尤其是当没有广义连续统假设我们看来不能得出任何结论的时候，我们曾经考虑把广义连续统假设采纳作为一条公理，不是因为我们对广义连续统假设的信心，而是因为我们对证明定理的愿望，我们才做这样的考虑，现在我认为这种考虑没有那么认真了。人们有时说我们应该”相信“或”采纳“可构成性公理V=L，我个人的意见是强烈反对这种做法，因为可构成集L是一个非常细小不具有代表性的案例，采纳它会损失很多有趣的定理，下文我们将会回到这一点，无论如何我都不会认为有人会认真对待这种做法。不管传闻如何，Jensen应该不会”相信“可构成性公理V=L，虽然这确实是他的工作的个人优势，他认为在可构成性公理V=L下的证明显然比协调性的结果意义更大，对此我同意，但是和马丁公理MA下的证明比起来呢？和sharp不存在下的证明比起来呢？？和大基数下的证明比起来呢？？？下面的表会告诉我们一些事情（范围0－100的数字是凭我的印象得出的代表的心目中的价值）

	Jensen	Magidor	我自己
协调性	40	40	30
在可构成性公理V=L下	65	50	35
在大基数下	50	60	40
在ZFC下	100	100	100

我认为对可构成集L的研究是ZFC框架下工作的一个很好的灵感来源，可构成集L是一个处在第二极端位置的个例，就像diamond定理和square定理的个例一样，举例来说，从广义连续统假设的个例可以证明diamond定理，学习了Jensen的覆盖引理后，我想根据sharp是否存在，通过dichotomy或其他的性质证明组合性的定理是件奇妙的事（见下文话题 C），这点在文[Sh 71]有暗示，在文[Sh 111]、[ShSt 419]中实现，但是迄今为止我的这些工作没有发挥特别的影响力，从ZFC框架的角度来看对内模型的理论形成了很高的期望，但是我最近了解到，Jensen有更高的期望：找到一些不存在sharp的内模型，从这些内模型我们可以得到集合论的终极理论，通过两步可以理解集合论的一切——首先分析内模型，然后把真正的集合论简化到内模型，看起来很好，但我不相信这样行的通。

从大基数的角度来看，大基数的存在性的陈述是“半公理”的，大基数的支持者可能会说：看看累积的层次是怎样形成的，我们为什么要在得到了所有继承有限集后在可数阶段停下来呢？我们也不该停在Zermelo集合论的阶段，停在第OMEGA个基数的阶段，所以我们为什么要在第一个不可达基数，第一个马洛基数，第一个弱紧致基数，第一个可测基数的地方停下来？我们仍在继续寻找正确的公理，它们对集合甚至实数有很深的影响，这些公理是让人迷惑的，至少这些半公理是这样。

一个非常有趣的现象，这些大基数公理，比如那些自然出现的，是线性排序的，这证明它们是自然的，虽然我们从各种组合变形法则，从各种简单陈述的协调性得到这些大基数公理，但从某种范围看来所有这些自然的法则和陈述和一些大基数是等价协调的的，所有这些证明了它们的自然性。这样就提出了一个问题：

问题：是否有定理可以解释我们想象的这些性质是比我们已经理解的性质更加一致？

直觉告诉我，除了一些人造的全体集合域外，幂集公理和置换公理像选择公理一样是成立的，然而直觉却没有告诉我多少关于不可达基数存在性的信息，根据我的经验，数学很好但没有集合论背景的人非正式的提到ZFC框架的时候是接受这个框架的。包括选择公理，但不包括大基数。你可以用从一些复杂的域到它自身映射的函数的集合组成的类，承认笛卡儿集的非空性，没有人会注意这些，没有人会为一个可数迭代形成幂集的算子感到不安，因此大基数的存在性是一个很自然也很有趣的陈述，并且大基数上的定理作为推论也很引人注目，虽然定理本身并不如此，所以我对用比ZFC框架更少的条件证明大基数上的理不那么感兴趣。对于我上面的意见足以使我把大基数放在比内模型更高的位置，完全认可大基数在协调性证明中的作用，并且把大基数和决定性公理AD周围的观点陈述做比较，比如：从“ZFC+超紧致基数”的协调性得到的协调性证明，怎么把条件的协调性小心的弱化，而结果却没有实质性的变化？我认为这是可行的。比如，从”ZF+依赖选择公理+决定性公理+正则性“开始怎样？不，对于我它只是一个推论，而Woodin或多或少持有和我相反的观点。既然我自己的直觉没有超出ZFC框架或ZFC＋大基数协调性框架，我认为这些定理都是大基数非常有趣的推论。

可能下文的类比可以解释我的观点，我们用标准的美国公民做类比，因为大家都熟悉，因此一个典型的集合论全体集合域和典型的美国人约翰史密斯先生对应，我的典型的全体集合域是很有趣的，它有广泛的区间在它里面广义连续统假设成立，但其他的定理却严重冲突，例子很多，比如——很多基数的Souslin树是存在的，很多基数上的每个Aronszajn树是special的，很多可测基数和一个边缘个例的非超紧致的巨基数是存在的，这些定理和约翰史密斯先生的事一样合理：在纽约北部长大，在加利福利亚接收高等教育，在大学的第三年肆业，住在中西部的郊区，大部分英国撒克逊血统，兼有少些爱尔兰、意大利、西班牙、黑人血统，和妻子分居有2.4个小孩。“得了，你怎么能没有连续统假设？你不能有的地方说对有的地方又说错！”，是的，但是约翰史密斯先生也不能有2.4个小孩，连续统假设和2.4个小孩一样不自然。虚构的美国标准公民约翰史密斯的情况和典型的全体集合域是很匹配的。受到这种类比的启发，可构成集L像是3K党章程某个章节的标题——一个值得研究的个例，但是可能不具有代表性。你也许会问：”这是否意味着你是个形式主义者而不是以前暗示的那样是个理想主义者？“，不，我是一个集合世界里的虔诚的理想主义者，但是我不能放弃对独立性现象的研究。

对于决定性公理，我们在下文话题C讨论：

话题 C

1. 组合的, 语义的 !!!!!

2. 语法的 !

组合的, 语义的 !!!!!

语法的 !

在我看来，对n阶存在量词定义的实数集非常感兴趣的决定性公理学派完全站在语法这一面，根据洛杉矶学派（译注：加州大学洛杉矶分校UCLA,加州理工学院CALTECH一批活跃的集合论学家，有Martin,Kechris等人） ，决定性公理加上依赖选择公理在实数集的可构成集合里确实是正确的，当真实的全体集合域用符合直觉的方式满足这条解决所有大问题的漂亮的公理的时候，我们为什么还要在如此弱的ZFC框架下证明定理呢？好，我不是对问题的语法方面感兴趣，但是严肃的来说，我同意决定性公理是一条漂亮的公理，在力迫法中有一席之地，并且从大基数可以推出它在”测度为正“的全体集合域集合上成立，但也仅此而已。

问题：是否有有趣的适合描述集合论的全体集合域？

我认为可构成集L是一个，K也是一个，但是洛杉矶学派认为这些答案是错的，没有管它们，当然，争论不会平息，但是给出这个问题具体的带有启发性的答案却是有趣且可行的。自然我会去考虑其他回答这个问题的全体集合域。注意，精细结构（fine structure）也是语法的，它的不少推论却不是语法的，因此：

问题：在应用中需要多大的语法成分？比如可构成集L中的组合性质需要精细结构吗？

对Jensen而言，精细结构是主要要点，diamond定理和square定理只是副产品，也许精细结构最容易向忽视它的人证明它的价值。就我个人而言，我宁愿不用精细结构去得到精细结构的这些推论，但不是喜欢去找另外的所谓纯粹证明。问题是，当我们想走得更远，哪一条道路是更好的？当然，对于语法性的陈述，你需要精细结构。

问题：这些组合性质是否是彻底的？比如，足以得出可构成集L里的组合性推论。

当然不是，在这个方向仍然可能会有正面的结果。

问题：真理会处在下面两个极端情况之间的什么位置？1.可构成集L中的每个组合性的陈述都是可判定的。2.我们应该有一种类似力迫法的技术，在ZFC＋可构成公理框架下或皮亚诺算术等框架下，来得到像孪生素数猜想之类问题的独立性的结果。

这两种情况我都很喜欢，但我这方面知识却不多，组合意味的不是语法而是语义，组合会令协调性的强度减弱，即使它的变形版本也是如此。

话题 D：感兴趣的集合论对象

1. 自然数

2. 实数

3. 实数集 !!!!!

4. 特殊集合 !!!!!!!

5. 大基数 !!!

自然数

实数

实数集 !!!!!

特殊集合 !!!!!!!

大基数 !!!

我对自然数也有理想化的强烈兴趣，但不是作为一个集合论学家。我将在话题D.2(实数)讨论关于射影集的问题，在话题D.3(实数集)讨论关于连续统基数不变量的问题，在话题D.4(特殊集合)讨论关于匈牙利学派一般划分关系和基数算术法则，在话题D.5(大基数)讨论大基数的划分关系，对于模型论，我将在话题D.1(自然数)讨论一些逻辑结构上的句子上的0-1律，在话题D.3(实数集)讨论有理数可构成集等的阿列夫1势模型的研究，在话题D.4(特殊集合)讨论模型分类理论，在话题D.5(大基数)讨论某些框架下的语句的Los问题，在话题D.2(实数)讨论波莱尔线性序和波莱尔点。如果你和我一样对这次会议的主题实数集非常感兴趣，那么下面的问题是核心的：

问题：如果连续统的势等于阿列夫3会得到什么结果？大于等于阿列夫3会得到什么结果？

根据有限支持迭代，所有大于阿列夫1的正则基数都是相同的大小。而可数支持迭代只对连续统势小于等于阿列夫2的情况有用，根据我们这方面的工作，真力迫(proper forcing)的保持性（见[Sh:b, III]）和其他的性质（见[Sh:b, VI]）会加深连续统势等于阿列夫2的个例的多样性，我们有连续统假设 的很多推论、从连续统势小于等于阿列夫2证明独立性结果的合理方法、还有不少的定理，但是对于连续统势等于阿列夫3我们还知之甚少，更确切的说，可数链条件力迫的有限支持迭代告诉了我们很多连续统势的信息，但连续统势等于阿列夫1和阿列夫2情况下的有利结果令我们不思进取。

L. Harrington曾经在多年以前问我：你知道了所有那些独立性结果有什么好处呢？我的答案是：挑选可能存在的定理——当把所有不成立的关系扔掉后，你就没有多少相互独立的问题了，垃圾被扔掉了，剩下的当中你可以找到金子，这是一个独立性结果很重大的意义。这在一个精彩的领域：基数算术已经实现，而在Cohen 和 Easton的工作以前，谁会考虑第OMEGA1个基数的幂的势是多少？现在考虑连续统的基数不变量的问题， ZFC框架内可以证明这些不变量之间可能存在关系，当连续统的势极端时这些关系变得平凡，就像一个量总等于其它的两个量中的一个一样，而处理这些关系，当前的独立性结果方法太弱。

如果你对D.4特殊集合感兴趣，那么下面的问题看来是重要的：

问题：基数算术的法则是什么？

目前我对这个问题相当投入（见专著[Sh:g]），所以我目前的看法可能没有平常的时候那么客观，但这个方向是集合论传统的中心课题。策梅洛的良序公理是说每个基数是一个阿列夫，哥德尔的可构成集L表明连续统假设可以成立，Cohen发现的力迫法表明连续统假设也可以不成立，Jensen的覆盖引理用来回答单基数问题。

注意有时观点不同的各方只是莫比乌斯带的两面：也就是我们没有理解不同的观点只是表达同样的事物的不同途径。比如专著[Sh:g]表明从连续统的势下面看事情并不会使基数算术多余而削弱基数算术的影响力。相反的，甚至在布尔代数领域的人和非连通紧致拓扑空间拓扑领域的人还有这种不同的观点：你是作为一个布尔代数学家对自由集感兴趣还是作为一个拓扑学家对独立集感兴趣？

未来——读者可能会提醒我——集合论的未来会是什么呢？我生性乐观，证明定理在我看来是相当的满足，所以我一点也不对集合论的未来感到悲观。回首这过去的100年，集合论古老的问题总是被深邃的答案所阐明，间歇的黑暗总是被新思想的出现所征服，集合论的一些方向需要大量的背景知识，而另外的方向需要的就很少，集合论这门古老的学科风采依旧。

让我们重新思考这篇演讲的目的，首先，不想被批评为”个人偏见“，”意识形态偏见“，”斯大林主义“，”王婆卖瓜自卖自夸“，我声明这里给出的只是我个人观点。我可能是愚蠢的，但是要证明我是错的也不容易，无论如何我有20世纪的历史趋势支持我，这些观点已经存在了，不是我的原创，事实上我假定认为每个人想的和我是一样的，一些事表明我在这里表达的观点得到了不少的赞同，他们不会去把这些观点写下来，所以在集合论的文化里是没有他们的声音的，比如，在我的口头演讲后，Gitik说他的观点和我是一样的，除了他还要再想想约翰史密斯先生的类比外。

第二，我的这些观点本身实际上是对我所了解的数理逻辑来说的，我递归论的知识不多，证明论的知识更少，所以我谈的这些观点更多是针对模型论和集合论而言的。

第三，既然你心里已经知道什么是重要的，什么是好的数学品味这些了，那你为什么要读我这篇演讲？一个可能的答案就是：你对我为什么要做这个问题，我的观点是什么，还有我和我的同行的一些事感兴趣。

一个职业的哲学家会说把一致放在优先的位置，但是理论和实践总是有距离，大家都不清楚一致怎样和数学家的工作联系起来，洛克的书不是邱吉尔放弃詹姆斯二世的最好解释，同样卢梭的书也不是罗伯斯庇尔把丹东送上断头台的原因。因此读者可能会问，一致怎样和作者自己的工作联系起来呢？我认为答案就是历史原因，因为我们要有一些客观的衡量标准，我认为好的问题对于数学的发展通常是至关重要的。很大程度上新一代数学家的职责就是解决前辈们的问题。回想当年我是在努力解决Keisler 和 Morley的问题时发展模型分类理论的，问题是首先启动我的研究的，在很长的时间里我对某种饱和模型的结构/非结构定理不满意，因为它处理我引入的一类结构，看来像行骗，引入一类结构然后解决这类结构里的问题，这也是我为什么要为持怀疑态度的Thomas写专著[Sh:c]第14章的原因。虽然我一直认为主缝隙定理（the main gap theorem）是主要要点，但我想我也应该解决Morley猜想，因为主缝隙是我自己的猜想，我不想最后我像一个国王，首先把剑射出去，然后以剑射中的地方为靶心。尽管如此，主缝隙定理仍是我的专著[Sh:c]的主定理。

我怀疑我有强调集合论游戏和竞争价值的坏名声，我不是指以练习为目的的游戏，事实上，我对为了练习忽视已经存在的证明，而去证明已经证明了的定理是不以为然的。因为我喜欢搞数学，所以我认为解决一个问题比争论它可能的意义更愉快。空虚感使我乐意解决仅仅是别人认为困难或重要的问题，即使我知道没人会注意我这方面的工作，甚至在某些方面对我有害，我一般也不会拒绝这种诱惑，比如，``Solovay不可达性”的工作的开始完全是游戏：我很少听说过它，然后在1978年1月，在伯克利，Harvey Friedman告诉我：“你如果解决了它，你得到的回报不会让你失望”，Harvey Friedman的猜测是正确的，说老实话我那时对随机实数一无所知。Harvey Friedman向我保证说它带有Baire性质的版本和它是一样的，通过仔细研读会发现这也是对的，这就是要我在不带选择公理的全体集合域和3阶存在量词定义的实数集中作出研究对象的选择，我选择了后者。这个问题我做了几次直到它的解决。这项工作改善了我对描述集合论的理解，我的关于等价类的个数的工作(见文[HrSh 152], [Sh 202],)，和我的关于“如果大基数存在，那么每个集合都是勒贝格可测”（见文[ShWd 241]）的工作也是如此，虽然在某种程度上这些带有骗局色彩：这些工作是在力迫法或者模型论的框架下而不是真正的描述集合论的框架下。根据行胜于言的格言，带着好奇心我看了Fuchs关于阿贝尔群的书，我这样做不仅是因为阿贝尔群不需要很多背景知识，看起来像有趣的数学，也是因为我想找到模型分类理论的应用。而当应用找到的时候，大部分却是集合论的应用，这巩固了我如下的信念：

通常你应该从问题开始而不是从方法开始。

要是我的学生Mati Rubin没有放弃他，通过特殊个例布尔代数上的工作的解释能力，来对一阶理论饱和模型的自同构群分类的任务，我就不会被牵引到文[RuSh 84]中的工作和对布尔代数的自同构的量词的长期的研究。没有Cherlin,可数模型的非同构超集就不会被我发现（见文[Sh 326] 和 文[Sh 405]），Fuchs的书和很多优秀友好的阿贝尔群专家鼓励我写了很多关于阿贝尔群的文章，Haim Judah引导我做了很多关于实数的工作，与此相反的是如果Yuri Gurevich没有离开Beer-Sheva，没有离开数学，我们可能又有关于一元逻辑和分叉理论另外的一两卷书。关于集合论游戏，我还有些要说，请不要嘲笑我，我有一点“邻居的草坪更绿”似的综合症，凭感觉你“知道”邻居的草坪更绿，我知道你不知道，对此我宁愿去弄个究竟，一些自大的邻居也强化了我的愿望，举例来说因此我也带着好奇心在描述集合论领域里一展身手，读者也许会问：我有多喜欢邻居的草坪呢？通常邻居的草坪不仅很绿，而且有趣，但也仅此而已。

你有新的观点对你的旧问题当然有好处，一个侧面的问题会推动你认为重要的问题的例子就是：一个关于布尔代数的基数不变量的问题启动了我目前关于基数算术的系列工作(见文[Sh 345].)

从我关于Morley猜想的工作开始，只要我感到课题本身重要或喜欢这些课题，我就会多年专注于这些课题而很少旁骛。事实上我的大部分时间都花在这样的课题上，结果往往是一本专著，因此我的专著是和我的计划对应起来的，不是随意证明一些定理的偶然性。对于模型分类理论，专著[Sh:a]和专著[Sh:c]在我看来是彻底的，从一般化的程度和遵循ZFC框架来说，都是如此。在专著[Sh:b]中，一般化的程度是可以的，但是它是不在ZFC框架下，上文我们已经解释了原因。专著[Sh:g]在遵循ZFC框架方面是做得很好的，但是它的一般化不够。也许随着年龄的增长，我的数学能力会退化，而这看来是相当正常的。

曾经有人告诉我太多的工作必然导致糟糕的数学品味，但是我从来不给一个定理一个负面的评价。此外我不介意某些工作是否适合我因为它永远都会适合我的观点，因为我虔诚的认为：论点：永远不要让意识形态或者所谓的品味阻止你证明一个好的定理。

因为一个定理的美感不是由所有以前对它的了解来定义的，它更像是艺术品的美感一样，也就是虽然我们目前的知识可以启发我们为什么我们喜欢它，为什么它重要等等，但是我们对美感没有一个精确的定义。蒙娜丽莎是一件伟大的艺术品，但从未被证明是如此，不同时代的评论家对它有不同的观点，但是至今我们仍然欣赏它。

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