复数的指数形式：MATLAB演示-海口c网

复数的指数形式：MATLAB演示

article/2025/7/26 22:31:06

复数的指数形式：MATLAB演示

复数在工程和科学计算中无处不在，而指数形式（又称极坐标形式）是表示和处理复数的一种强大方式。本文将介绍复数的指数形式表示法，并展示如何使用MATLAB进行相关计算和可视化。

复数的基础回顾

复数通常表示为：
$z = a + bi$
其中：

$a$ 是实部
$b$ 是虚部
$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$

复数的指数形式

复数还可以表示为指数形式：
$re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

其中：

$\sqrt{a^2 + b^2}$ 是模（绝对值）
$\theta = \text{atan2}(b, a)$ 是幅角（相位角）

这个表示法基于欧拉公式：
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

MATLAB中的复数表示

在MATLAB中，复数可以直接表示：

z = 3 + 4i;  % 创建一个复数

或者使用复数函数：

z = complex(3, 4);  % 等价于3 + 4i

转换为指数形式

我们可以计算模和幅角：

r = abs(z);      % 计算模
theta = angle(z); % 计算幅角（弧度）

MATLAB中可以使用polarplot函数可视化：

polarplot([0 theta], [0 r], '-o');
title('复数在极坐标下的表示');

从指数形式恢复直角坐标形式

$\cos\theta$
$\sin\theta$
$z = a + bi$

MATLAB实现：

a = r * cos(theta);  % 实部
b = r * sin(theta);  % 虚部
z_recovered = a + b*1i;

MATLAB演示示例

figure;
subplot(1,2,1);
hold on
quiver(0, 0, real(z), imag(z), 0, ...'b-.', 'LineWidth', 2,'MaxHeadSize',0.4); % 绘制 z1 的向量
plot(real(z), imag(z), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
xlim([0 2]); ylim([0 2]);
grid on;
xlabel('实部'); ylabel('虚部');
title('直角坐标表示');
hold offsubplot(1,2,2);
polarplot([0 theta], [0 r], '-o');
title('极坐标表示');% 验证欧拉公式
fprintf('直角坐标形式: %.4f + %.4fi\n', real(z), imag(z));
fprintf('指数形式恢复: %.4f + %.4fi\n', r*cos(theta), r*sin(theta));

运行结果：
在这里插入图片描述

复数运算的指数形式优势

乘法：
$z_1 \cdot z_2 = r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

z1 = 2*exp(1i*pi/4);
z2 = 3*exp(1i*pi/6);
z_product = z1 * z2;  % 6*exp(1i*(pi/4+pi/6))

除法：
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

z_quotient = z1 / z2;  % (2/3)*exp(1i*(pi/4-pi/6))

幂运算：
$z^n = r^n e^{i n\theta}$

n = 3;
z_power = z1^n;  % 2^n * exp(1i*n*pi/4)

应用实例：旋转操作

复数乘法可以表示旋转：
$z_{\text{rotated}} = z \cdot e^{i\alpha}$

% 原始复数
z = 2 + 1i;% 逆时针旋转45度（π/4弧度）
rotation = exp(1i*pi/4);
z_rotated = z * rotation;% 可视化
figure;
compass(real(z), imag(z), 'r'); hold on;
compass(real(z_rotated), imag(z_rotated), 'b');
legend('原始复数', '旋转后复数');
title('复数旋转演示');