利用导数研究函数的单调性，极值、最值

097

题型九

利用导数研究函数的图像。

107

题型十

求参数取值范围、恒成立及存在性问题。

11

7

题型十一

数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系。

12

题型十二

焦点三角函数、焦半径、焦点弦问题。

13

题型十三

动点轨迹方程问题。

14

题型十四

共线问题。

15

题型十五

定点问题。

16

题型十六

存在性问题。

存在直线y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆

17

题型十七

最值问题。

选择填空答题技巧

选择题

01

排除法、代入法

当从正面解答不能很快得出答案或者确定答案是否正确时，可以通过排除法，排除其他选项，得到正确答案。排除法可以与代入法相互结合，将4个选项的答案，逐一带入到题目中验证答案。

例题

已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0，则a的取值范围为（ ）

A、（2，+∞） B、（-∞，-2）

C、（1，+∞） D、（-∞，-1）

解析：取a=3,f(x)=3x3-3x2+1，不合题意，可以排除A与C；取a=-4/3,f(x)=-4x3/3-3x2+1，不合题意，可以排除D；故只能选B

（2014年高考全国卷Ⅰ理数第11题）

02

特例法

有些选择题涉及的数学问题具有一般性，这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题转化到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解。

例题

已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1/x与y=f(x)图像焦点为（x1,y1),(x2,y2),…，（xm,ym)，则∑mi=1（xi+yi）=（ ）

A、0 B、m C、2m D、4m

解析：由f(-x)=2-f(x)得，f(x)关于（0,1）对称，故可取符合题意的特殊函数f(x)=x+1,联立y=x+1,y=x+1/x,解得交点为（-1,0）和（1,2），所以∑2i=1（xi+yi）=（x1+y1)+(x2+y2)=（-1+0）+（1+2）=2，此m=2，只有选项B符合题意。

（2016年高考全国卷Ⅱ理数第12题）

03

极限法

当一个变量无限接近一个定量，则变量可看作此定量。对于某些选择题，若能恰当运用极限法，则往往可使过程简单明快。

例题

对任意θ∈（0，π/2）都有（ ）

A sin(sinθ)<cosθ<cos(cosθ)

B sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ)

C sin(cosθ)<cos(sinθ)<cosθ

D sin(cosθ)<cosθ<cos(sinθ)

解析：当θ→0时，sin(sinθ)→0，cosθ→1，cos(cosθ)→cos1，故排除A与B；当θ→π/2时，cos(sinθ)→cos1，cosθ→0，故排除C，只能选D。

选择填空答题技巧

填空题

01

特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。

例题

如图，设F1F2为椭圆x2/100+y2/64=1的两个焦点，P在椭圆上，I为△PF1F2的内心，直线PI交长轴于Q，则I分PQ所成的比为___？

解析：将点P与短轴上端点B重合，则在直角△BF1O中，|F1B|=a=10,|F1O|=c=6,因为F1I平分角BF1O，所以BI/IO=|F1B|/|F1B|=10/6=5/3,即I分PQ所成的比为5/3

02

数形结合法

将抽象、复杂的数量关系，通过图像直观揭示出来。对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例题

已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，若∠MAN为60度，则C的离心率为___？

解析：作AP⊥MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，则MN为双曲线的渐近线y=bx/a上的点，且A（a,0）,|AM|=|AN|=b,AP⊥MN,所以∠PAN为30度，点A（a,0）到直线y=bx/a的距离|AP|=|b|/√(1+b2/a2),在Rt△PAN中，cos∠PAN=|PA|/|NA|,代入计算得a2=3b2,c=2b,所以e=c/a=2√3/3

03

等价转化法

通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例题

不论K为任何实数，直线y=kx+1与直线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围为____？

解析：题设条件等价于点（0,1）在圆内或圆上，或等价与点（0,1）到圆（x-a）2+y2=2a+4,所以-1≤a≤3

注意事项

选择题、填空题在考试时都是只要结果，不看过程。因此，可以充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做，浪费太多时间在前面的小题上。

解答题的答题技巧

通用答题套路

01

三角变换与三角函数的性质问题

解题路线图：不同角化同角、降幂扩角、化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h、结合性质求解

构建答题模板

化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。

求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。

反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

02

解三角函数问题

解题路线图：化简变形；用余弦定理转化为边的关系；变形证明。用余弦定理表示角；用基本不等式求范围；确定角的取值范围。

构建答题模板

定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

求结果。

再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

03

数列的通项、求和问题

解题路线图：先求某一项，或者找到数列的关系式。求通项公式。求数列和通式。

构建答题模板

找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

写步骤：规范写出求和步骤。

再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

04

利用空间向量求角问题

解题路线图：建立坐标系，并用坐标来表示向量。空间向量的坐标运算。用向量工具求空间的角和距离。

构建答题模板

找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。

写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。

求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。

求夹角：计算向量的夹角。

得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。

05

圆锥曲线中的范围问题

解题路线图：设方程、解系数、得结论。

构建答题模板

提关系：从题设条件中提取不等关系式。

找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。

得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。

再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。

06

解析几何中的探索问题

解题路线图：一般先假设这种情况成立（点存在、直线存在、位置关系存在等）。将上面的假设代入已知条件求解。得出结论。

构建答题模板

先假定：假设结论成立。

再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。

下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯。定假设；若推出矛盾则否定假设。

再回顾：查看关键点，易错点（特殊情况、隐含条件等），审视解题规范性。

07

离散型随机变量的均值与方法

解题路线图：标记事件；对事件分解；计算概率。确定ξ取值；计算概率；得分布列；求数学期望。

构建答题模板

定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。

定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。

定型：确定事件的概率模型和计算公式。

计算：计算随机变量取每一个值的概率。

列表：列出分布列。

求解：根据均值、方差公式求解其值。

08

函数的单调性、极值、最值问题

解题路线图：先对函数求导；计算出某一点的斜率；得出切线方程。先对函数求导；谈论导数的正负性；列表观察原函数值；得到原函数的单调区间和极值。

构建答题模板

求导数：求f(x)的导数f′(x)，注意f(x)的定义域。

解方程：解f′(x)＝0，得方程的根。

列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。

得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。

再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。

解答题的答题技巧

遇到大题怎么做？

01

做——常规题目直接做

在理解题意后，立即思考问题属于哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这样一想，做题的方向就有了。

02

套——陌生题目往熟套

高考题目一般而言，很少会出怪题、偏题。很多题目乍一看是新题型，没见过；但是换个角度思考一下；或者试着往下面运算两步、做一下变形，就会回到你熟悉的套路上去。因此遇到没做过的题型，不要慌张，尝试往自己做过的题目上套。

03

推——正面难解反向推

后面的大题，尤其是一些证明题，不少同学会发现正面推到一半推不下去了。这时候不妨尝试从结果开始反向推理证明。或者想一想，想要得出结果，需要哪些已知条件，这些条件能够通过哪些方式获得。从两头入手，向中间挤压、合拢，尽可能完成题目。

温馨提示：在数学考试时，同学们在做题上也要有“策略”，做到以下三点：

1、按题目顺序做题，先做容易的再做难题。

2、做题时稍微慢一点，计算一定不要出现差错；做中档题的时候稳中求胜，绕开那一些一看就没思路的难题。

3、简单题要拿满分，中档题拿高分，难题能拿一分算一分。在解题过程中，我们审题一定要慢下来，充分理解题意，剔除掉干扰项，一旦思路理顺了，解题速度就上来了，用最快的速度和最高的效率写完答案。

往期回顾

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